Distància d'un punt a una recta

En una recta és la distància més curta entre eixe punt i un punt d'una llínea o recta.

Siguen A un punt i D una recta.
Es definix la distància entre A i D com la distància mínima entre A i un punt A' de D.

$d(A,D)=\underset{M\in D}{\min }||A-A^{\prime }||\dot{}$

Per a una recta D definida per la seua equació reduïda $y=a\cdot x+b$ i sent A un punt de la forma $A=(x_A,y_A)$

$d(A,D)=\frac{|a\cdot x_A-y_A+b|}{\sqrt{a^2+1}}$

Observe's que $D=\{(x,y)|y=a\cdot x+b\}$

Demostració

La distància mínima s'ubica en la proyecció ortogonal del punt M sobre D, és dir, el punt M' de la recta D tal que (MM') siga perpendicular a ella. En efecte, si es pren un atre punt qualsevol B de D, llavors en el triàngul rectàngul MM'B, la hipotenusa MB és més llarga que el cateto MM'. Geomètricament, es construïx el punt proyectat M' esgolant una esquadra sobre una regla que seguix la recta D fins a trobar el punt M; després es medix la llongitut MM'.

El punt M es proyecta com a M' sobre la recta D.

Per a calcular esta distància, és aconsellable utilisar un sistema de coordenades ortogonals - $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ en la figura. La recta i el punt la distància del qual es vol medir són definits per la seua equació cartesiana i les seues coordenades respectivament: $D:a\cdot x+b\cdot y+c=0$; i $M=\left(\begin{array}{c}{x}_M\\ y_M\end{array}\right)$
Si en l'equació de la recta D variem només el valor del paràmetro "c" obtindrem una família de rectes paraleles. De manera que per a determinar un vector perpendicular podem prendre c = 0. Aixina, els vectores sobre la recta tindran la forma $\left(\begin{array}{c}-by/a\\ y\end{array}\right)=y\left(\begin{array}{c}-b/a\\ 1\end{array}\right)$, que pot simplificar-se a $\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$

Busquem un vector normal a $\overrightarrow{v}$ (és dir, perpendicular a la recta), que deurà complir que el producte escalar $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$, i resulta ser $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ (d'ahí l'interés de l'equació cartesiana) i en dividir-ho per la seua norma s'obté el vector normado $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}\right)$ que definix una mida algebraica sobre la recta (M'M): $\overline{M^{\prime }M}=\overrightarrow{M^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{w}$
La distància MM' és el valor absolut de la mida algebraica:
$M^{\prime }M=|\overline{M^{\prime }M}|=|\overrightarrow{M^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{w}|=|\left(\begin{array}{c}x-x^{\prime }\\ y-y^{\prime }\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}\right)|=\frac{|a(x-x^{\prime })+b(y-y^{\prime })|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Com a M' pertany a D, les seues coordenades verifiquen a·x' + b·i' = -c després lo anterior se simplifica aixina: $M^{\prime }M=\frac{|ax-a{x}^{\prime }+by-b{y}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|ax+by-a{x}^{\prime }-b{y}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

En conclusió: La distància entre M i (D) és:

$d(M,D)=\frac{|a\cdot x+b\cdot y+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Esta fòrmula és molt fàcil de recordar: Es dividix l'expressió de la recta per la normal del vector i es posa el valor absolut perque una distància és sempre positiva.

• En el cas de que la recta siga donada per l'àngul (θ) que fa en l'eix de les abscisses i la seua ordenada a l'orige (b), la fòrmula se simplifica:

D: i = (tan θ) ·x + b es posa en forma cartesiana: (sense θ)·x - (cos θ)·i + b·cos θ = 0, després, sabent que el vector $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}\text{sen }\theta \\ \cos \theta \end{array}\right)$ és unitari:

$d(M,D)=|(\text{sen }\theta )\cdot x-(\cos \theta )\cdot y+b\cdot \cos \theta |$

Eixemple: la primera diagonal del sistema de referència correspon a un àngul $\theta =\frac{\pi }{4}$ i b = 0. Com $\cos \frac{\pi }{4}=\text{sen }\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, s'obté: $d(M,D)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot |x-y|$

• En el cas d'una recta definida per la seua equació reduïda i = a·x + b; l'equació cartesiana és a·x - i + b = 0 i la distància a ella és:

$d(M,D)=\frac{|a\cdot x-y+b|}{\sqrt{a^2+1}}$

Eixemple: Prenent a = 1 i b = 0, s'obté de nou el resultat de l'eixemple anterior.

Es calcula de la mateixa manera la distància d'un punt i un pla en l'espai tridimensional: Si l'equació del pla és $D:a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0$; i el punt és $M=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right)$, llavors:

$d(M,D)=\frac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c\cdot z_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Lo anterior es generalisa als espais de dimensió finita n, i la distància entre un punt i un hiperplano (subespacio de dimensió n-1), afegint quantes variables facen falta.

Vectorial

En un espai vectorial ortonormal, si la recta (d ) pansa per B i té com vector director $\overrightarrow{u}$, la distància entre el punt A i la recta (d) és

$d(\mathrm{A},(d))=\frac{\Vert \overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}\wedge \overrightarrow{u}\Vert }{\Vert \overrightarrow{u}\Vert }$

a on $\overrightarrow{B}A\wedge \overrightarrow{u}$ és el producte vectorial dels vectores $\overrightarrow{B}A$ i $\overrightarrow{u}$ i $\Vert \overrightarrow{u}\Vert$ és la norma del vector $\overrightarrow{u}$.

Vore també

• Distància

Referències

• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.