Corchete de Iverson

En matemàtiques, el corchete de Iverson, nomenat en honor al matemàtic canadenc Kenneth Iverson, és una notació utilisada per a generalisar la delta de Kronecker. Convertix qualsevol proposició llògica en un número que és 1 si la proposició és satisfeta, i 0 si no, i és generalment escrita colocant la proposició entre corchetes (o paréntesis) rectes:

$[P]=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }P\text{ es verdadero;}\\ 0& \text{de otra forma}\end{array}$

a on $P$ és una declaració que pot ser verdadera o falsa.

En context de sumatoria, la notació pot ser utilisada per a escriure qualsevol suma com una suma infinita sense llímits:

$\sum _{k}f(k)[P(k)]=\sum _{P(k)}f(k),$

Si $P(k)$ és qualsevol propietat del sancer $k$.

Note's que, per esta convenció, un sumant $f(k)[\mathbf{\text{𝐟𝐚𝐥𝐬𝐨}}]$ deu evaluar a 0 independentment de si $f(k)$ està definida. Igualment per a la multiplicatoria:

$\prod _{k}f(k{)}^{[P(k)]}=\prod _{P(k)}f(k).$

La notació va ser originalment introduïda per Kenneth Iverson en la seua llenguage de programació APL, encara que llimitat a operadors simples relacionals entre paréntesis, mentres que la generalisació a declaracions arbitràries, llimitada notacionalmente a paréntesis rectes, i les aplicacions en sumatoria, defesa per Donald Knuth per a evadir ambigüitats en expressions llògiques entre paréntesis.

Propietats

Existix una correspondència directa entre aritmètica en els corchetes de Iverson, la llògica i conjunts d'operacions. Per eixemple, deixa a $A$ i $B$ ser conjunts i a $P(k_1,\dots )$ qualsevol propietat de sancers; llavors tenim

$[P\wedge Q]=[P][Q],[\mathrm{\neg }P]=1-[P].$

$[k\in A]+[k\in B]=[k\in A\cup B]+[k\in A\cap B].$

$[\mathrm{\forall }m.P(k,m)]=\prod _m[P(k,m)].$

$[\mathrm{\exists }m.P(k,m)]=\min (1,\sum _m[P(k,m)])=1-\prod _m(1-[P(k,m)])$.

$\mathrm{\#}\{m\mid \mathrm{\exists }m.P(k,m)\}=\sum _m[P(k,m)].$

Eixemples

La notació permet moure condicions de llímits de sumatorias (o integrals) com a factors separats dins del sumant, lliberant espai al voltant de l'operador de sumatoria, pero més important permetent-li ser manipulat algebraicamente.

Regla del doble reconte

Nostros mecánicamente derivem una regla molt coneguda per a manipular sumes utilisant els corchetes de Iverson:

$\begin{array}{cc}\sum _{k\in A}f(k)+\sum _{k\in B}f(k)& =\sum _{k}f(k)[k\in A]+\sum _{k}f(k)[k\in B]\\ & =\sum _{k}f(k)([k\in A]+[k\in B])\\ & =\sum _{k}f(k)([k\in A\cup B]+[k\in A\cap B])\\ & =\sum _{k\in A\cup B}f(k)+\sum _{k\in A\cap B}f(k).\end{array}$

Intercanvi de sumatorias

La coneguda regla ${\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{j}f(j,k)={\sum }_{k=1}^n{\sum }_{j=k}^{n}f(j,k)$ és, de la mateixa manera, fàcilment derivada com:

$\begin{array}{cc}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^{j}f(j,k)& =\sum _{j,k}f(j,k)[1\le j\le n][1\le k\le j]\\ & =\sum _{j,k}f(j,k)[1\le k\le j\le n]\\ & =\sum _{j,k}f(j,k)[1\le k\le n][k\le j\le n]\\ & =\sum _{k=1}^n\sum _{j=k}^{n}f(j,k).\end{array}$

Càlcul

Per eixemple, la funció phi de Euler, que conta el número de sancers positius fins a $n$, els quals són cosins entre sí en $n$, pot ser expressada com

$\varphi (n)=\sum _{i=1}^n[\gcd (i,n)=1],\text{para }n\in {\mathbb{N}}^{+}.$

Simplificació de casos especials

Un atre us dels corchetes de Iverson és el simplificar equacions en casos especials. Per eixemple, la fòrmula

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le k\le n}{\gcd (k,n)=1}}k=\frac{1}{2}n\phi (n)$

és vàlida per a $n>1$ pero és cancelada per $\frac{1}{2}$ per a $n=1$. Per a obtindre una identitat vàlida per a tots els sancers positius $n$ (ej. tots els valors a on $\varphi (n)$ està definit), un terme de correcció involucrant al corchete de Iverson pot ser agregat:

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le k\le n}{\gcd (k,n)=1}}k=\frac{1}{2}n(\phi (n)+[n=1])$

Funcions comunes

Moltes funcions comunes, especialment aquelles en una definició natural peça per peça, pot ser expressada en térmens del corchete de Iverson. La notació de la delta de Kronecker és un cas especial de la notació de Iverson quan la condició és l'igualtat. Açò és,

${\delta }_{ij}=[i=j].$

La funció indicatriz, a voltes denotada ${\mathrm{𝟏}}_A(x)$, ${𝐈}_A(x)$ o ${\chi }_A(x)$, és un corchete de Iverson en correspondència definida com la seua condició:

${𝐈}_A(x)=[x\in A]$.

Les funcions escaló de Heaviside, signe, i valor absolut són fàcilment expressades en esta notació:

$H(x)=[x>0]$,

$\mathrm{sgn}(x)=[x>0]-[x<0]$,

i

$\begin{array}{cc}|x|& =x[x>0]-x[x<0]\\ & =x([x>0]-[x<0])\\ & =x\cdot \mathrm{sgn}(x).\end{array}$

Les funcions de comparació màxim i mínim (que torna el més gran o el més chic de dos arguments) pot ser escrita com

$\max (x,y)=x[x>y]+y[x\le y]$ i

$\min (x,y)=x[x\le y]+y[x>y]$.

Les funcions chafe i sostre poden ser expressades com

$\lfloor x\rfloor =\sum _{n}n\cdot [n\le x<n+1]$

i

$\lceil x\rceil =\sum _{n}n\cdot [n-1<x\le n],$

a on l'índex $n$ de la sumatoria és entés com que alcança a tots els sancers.

La funció rampa pot ser expressada com

$R(x)=x\cdot [x\ge 0].$

La tricotomia dels reals és equivalent a l'identitat

$[a<b]+[a=b]+[a>b]=1.$

La funció de Möbius té la propietat (i pot ser definida per recurrencia) com

$\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1].$