Conjunto de teselas autoteseladas

Figura 1: Plantilla:Pad Un conjunt d'orde  4 de teselas autoteseladas 'perfecte'

Un conjunt de teselas autoteselado, o reconjunto (en anglés, setiset), d'orde n és un conjunt de n formes o peces, generalment planes, cada una de les quals pot revestir-se en rèpliques més chicotetes del conjunt complet de n formes. És dir, les n formes es poden ensamblar de n formes diferents per a crear còpies més grans de sí mateixes, a on l'aument d'escala és el mateix en cada cas. La Figura 1 mostra un eixemple per a n = 4 usant decominós en una forma distinta. El concepte pot ampliar-se per a incloure peces de major dimensió. El nom setisets va ser falcat per Llig Sallows en 2012, pero el problema de trobar dits conjunts per a n = 4 va ser plantejat décades abans per C. Dudley Langford, i eixemples per a poliábolos (descoberts per Martin Gardner, Wade E. Philpott i uns atres) i poliominós (descoberts per Maurice J. Povah) varen ser publicats prèviament per Gardner.

Eixemples i definicions

Figura 2: Plantilla:Pad Un conjunt en una peça duplicada

De la definició anterior es deduïx que un conjunt compost per n peces idèntiques és lo mateix que un 'mosaic autorreplicante' o repitesela, del com els reconjuntos són, per lo tant, una generalisació. Els reconjuntos que utilisen n formes distintes, com la Figura 1, es denominen perfectes. La Figura 2 mostra un eixemple per a n = 4 que és imperfecte perque dos de les formes que ho componen són iguals.

Les formes amprades en un conjunt no necessiten ser regions "conexas". També es permeten peces disjuntas compostes per dos o més illes separades. Estes peces es descriuen com "desconectades" o "débilment conectades" (quan les illes s'unixen solament en un punt), com es veu en el conjunt que es mostra en la Figura 3.

La menor cantitat de peces en un reconjunto són dos. La Figura 4 encapsula una família infinita de conjunts de conjunts d'orde 2, cada u compost per dos triànguls, P i Q. Com es mostra, estos últims poden unir-se entre sí per a produir un triàngul compost que té la mateixa forma que P o Q, depenent de si la frontiça està completament oberta o completament tancada. Este espècimen inusual proporciona un eixemple de dissecció articulada.

Figura 3: Plantilla:Pad Un reconjunto que mostra peces débilment conectades

Figura 4: Plantilla:Pad Una família infinita de reconjuntos d'orde 2

Inflació i deflación

Figura 5: Plantilla:Pad Un reconjunto d'orde 4 usant octominós. Es mostren dos etapes d'inflació

Les propietats dels reconjuntos signifiquen que les seues peces formen teselados de substitució, o teselados en els que les prototeseles poden disseccionar-se o combinar-se per a produir duplicats més chicotets o més grans de sí mateixos. Clarament, les accions bessones de formar còpies cada volta més grans (coneguda com a inflació), o dissecció cada volta més chicotetes (deflación), poden repetir-se indefinidament. D'esta manera, els reconjuntos poden produir teselados no periòdics. No obstant, cap dels teselados no periòdics descoberts fins ara calificats com aperiódicos, perque les prototeselas sempre es poden reorganisar per a produir un teselado periòdic. La Figura 5 mostra les dos primeres etapes d'inflació d'un conjunt d'orde 4 que conduïxen a un teselado no periòdic.