Conjunt estacionari

En teoria de conjunts i en teoria de models existixen tres nocions diferents de conjunt estacionari:

• Els conjunts estacionaris clàssics.
• Els conjunts estacionaris de Jech.
• Els conjunts estacionaris generalisats.

Conjunt estacionari clàssic

Si $\kappa$ és un cardinal en cofinalidad no numerable, $S\subseteq \kappa ,$ i $S$ es interseca en cada conjunt club de $\kappa ,$ llavors $S$ es denomina conjunt estacionari. Si un conjunt no és estacionari, llavors es denomina conjunt prim. Esta noció no deu confondre's en la de conjunt prim en teoria de números.

Si $S$ és un conjunt estacionari i $C$ és un conjunt club, llavors la seua intersecció $S\cap C$ també és estacinaria. Perque si $D$ és qualsevol conjunt club, llavors $C\cap D$ és un conjunt club perque l'intersecció de dos conjunts club és també un conjunt club. Aixina $(S\cap C)\cap D=S\cap (C\cap D)$ és no buit. Per lo tant, $(S\cap C)$ deu ser estacionari.

Vore també: Lema de Fodor

La restricció a una cofinalidad no numerable es fa per a evitar casos trivials: Suponga's que té un cofinalidad $\kappa$ numerable. Llavors$S\subset \kappa$ és estacionari en $\kappa$ si i solament si $\kappa \setminus S$ està acotat en $\kappa$. En particular, si la cofinalidad de $\kappa$ és $\omega ={\mathrm{\aleph }}_0$, llavors qualssevol dos conjunts estacionaris de $\kappa$ tenen intersecció estacionària.

Si s'introduïx la restricció de cofinalidad no numerable llavors lo últim deixa de ser certo. De fet, suponga's que $\kappa$ és un cardinal regular i $S\subset \kappa$ és estacionari. En eixe cas $S$ pot ser particionado en $\kappa$ conjunts estacionaris disjunts. Este resultat es deu a R. M. Solovay. Per a $\kappa$ cardinal successor, este resultat va ser demostrat per S. M. Ulam i es demostra fàcilment en l'auxili de la matriu de Ulam.

Conjunt estacionari de Jech

Existix una atra noció diferent de conjunt estacionari deguda a Thomas Jech. Donat un conjunt $[X{]}^{\lambda }$, sent $\lambda$ un cardinal i $X$ un conjunt tal que el seu cardinal $|X|\ge \lambda$, a on $[X{]}^{\lambda }$ denota el conjunt de conjunts de $X$ cardinalidad $\lambda$: $[X{]}^{\lambda }=\{Y\subset X:|Y|=\lambda \}$. Com en el cas d'un conjunt estacionari clàssic, $S\subset [X{]}^{\lambda }$ és estacionari si i solament si es interseca en cada conjunt club de $[X{]}^{\lambda }$ i és no acotat baix $\subset$ i tancat baix l'unió de cadenes de llongitut inferior a $\lambda$.

Esta definició en general no és equivalent de conjunt estacionari clàssic, encara que para $X={\omega }_1$ i $\lambda ={\mathrm{\aleph }}_0$ abdós coincidixen en el sentit de que $S\subset [{\omega }_1{]}^{\omega }$ és estacionari si i solament si $S\cap {\omega }_1$ és estacionari en ${\omega }_1$. En este cas també es complix una versió moficada del lema de Fodor.

Referències

Bibliografia

• Matthew Foreman, Stationary sets, Chang's Conjecture and partition theory, in Set Theory (The Hajnal Conference) DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI. 2002 pp. 73–94 (Archiu disponible ací)

Enllaços externs

• Plantilla:Planetmath reference