Conjunt complet d'observables compatibles

En mecànica quàntica, un conjunt complet d'observables compatibles (CCOC) és un conjunt d'operadors que commuten que els seus eigenvectors ordinaris poden utilisar-se com a base per a expressar qualsevol estat. En el cas dels operadors en espectres discrets, un CCOC és un conjunt d'observables compatibles els espais propis dels quals simultàneus comprenen l'espai de Hilbert, de modo que els eigenvectores estan especificats de forma única pels corresponents conjunts de valors propis.

Ya que cada parell d'observables en el conjunt commuta, els observables són tots compatibles, de modo que la medició d'un observable no té cap efecte sobre el resultat de la medició d'un atre observable en el conjunt. Per lo tant, no és necessari especificar l'orde en que es medixen els diferents observables. La medició del conjunt complet d'observables constituïx una medició completa, en el sentit de que proyecta l'estat quàntic del sistema sobre un vector únic i conegut en la base definida pel conjunt d'operadors. És dir, per a preparar l'estat completament especificat, tenim que prendre un estat qualsevol de forma arbitrària, i després realisar una successió de medicions corresponents a tots els observables del conjunt, fins que es convertixca en un vector únic i especificat en l'espai de Hilbert (llevat fase).

La teorema de la compatibilitat

Considerem dos observables, $A$ i $B$ , representats pels operadors $\hat{A}$ i $\hat{B}$ . Llavors les següents afirmacions són equivalents:

$A$ i $B$ són observables compatibles.

$\hat{A}$ i $\hat{B}$ tenen una base pròpia comuna.

Els operadors $\hat{A}$ i $\hat{B}$ commuten, és dir, $[\hat{A}, \hat{B}] = 0$ .

Demostracions

Siga $| ψ_{n} ⟩$ un conjunt complet de eigenvectores ortonormals comuns dels dos observables compatibles $A$ i $B$ (abdós són operadors autoadjuntos), corresponents als conjunts de valors propis de valor real ${a_{n}}$ i ${b_{n}}$ respectivament. Llavors podem escriure

\hat{A} \hat{B} | ψ_{n} ⟩ = \hat{A} b_{n} | ψ_{n} ⟩ = a_{n} b_{n} | ψ_{n} ⟩ = b_{n} a_{n} | ψ_{n} ⟩ = \hat{B} \hat{A} | ψ_{n} ⟩

Ara, podem expandir qualsevol estat arbitrari ket $| Ψ ⟩$ en el conjunt complet $| ψ_{n} ⟩$ com

| Ψ ⟩ = \sum_{n} c_{n} | ψ_{n} ⟩

Aixina, utilisant el resultat anterior, podem vore que

(\hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}) | Ψ ⟩ = \sum_{n} c_{n} (\hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}) | ψ_{n} ⟩ = 0

Açò implica que $[\hat{A}, \hat{B}] = 0$ , lo que significa que els dos operadors commuten.

Quan $A$ té valors propis no degenerados: Siga $| ψ_{n} ⟩$ un conjunt complet de eigenkets ortonormals de l'operador autoadjunto $A$ corresponent al conjunt de valors propis de valor real ${a_{n}}$ . Si els operadors autoconjuntos $A$ i $B$ commuten, podem escriure

\hat{A} (\hat{B} | ψ_{n} ⟩) = \hat{B} \hat{A} | ψ_{n} ⟩ = a_{n} (\hat{B} | ψ_{n} ⟩)

Per tant, si $\hat{B} | ψ_{n} ⟩ \neq 0$ , podem dir que $\hat{B} | ψ_{n} ⟩$ és un eigenket de $A$ corresponent al eigenvalor $a_{n}$ . Ya que tant $B | ψ_{n} ⟩$ com $| ψ_{n} ⟩$ són cistelles pròpies associades al mateix valor propi no degenerado $a_{n}$ , poden diferir com a màxim en una constant multiplicativa. Cridem a esta constant $b_{n}$ . Per lo tant, $B | ψ_{n} ⟩ = b_{n} | ψ_{n} ⟩$ , lo que significa que $| ψ_{n} ⟩$ és un eigenvector de $B$ i, per tant, de $A$ i $B$ simultàneament. En el cas de $B | ψ_{n} ⟩ = 0$ , el vector no nul $| ψ_{n} ⟩$ és un eigenvector de $B$ en el valor propi $b_{n} = 0$ .

Quan $A$ té valors propis degenerados: Supongam que cada $a_{n}$ és $g$ -fold degenerado. Deixem que els corresponents eigenvectors ortonormals siguen $| ψ_{n r} ⟩, r \in {1, 2, \dots, g}$ . Ya que $[A, B] = 0$ , raonem com dalt per a trobar que $B | ψ_{n r} ⟩$ és un eigenvector de $A$ corresponent al valor propi $a_{n}$ . Per lo tant, podem expandir la base dels eigenvectores degenerados de $a_{n}$ :

B | ψ_{n r} ⟩ = \sum_{s = 1}^{g} c_{r s} | ψ_{n s} ⟩

Els $c_{r s}$ són els coeficients d'expansió. Els coeficients $c_{r s}$ formen una matriu autoconjunta, ya que $⟨ ψ_{n s} | B | ψ_{n r} ⟩ = c_{r s}$ . El següent pas seria diagonalizar la matriu $c_{r s}$ . Per a això, vàrem sumar sobre totes les $r$ en $g$ constants $d_{r}$ . Aixina,

B \sum_{r = 1}^{g} d_{r} | ψ_{n r} ⟩ = \sum_{r = 1}^{g} \sum_{s = 1}^{g} d_{r} c_{r s} | ψ_{n s} ⟩

Per tant, $\sum_{r = 1}^{g} d_{r} | ψ_{n r} ⟩$ serà un eigenvector de $B$ en el valor propi $b_{n}$ si tenim

\sum_{r = 1}^{g} d_{r} c_{r s} = b_{n} d_{s}, s = 1, 2, ... g

Açò constituïx un sistema de $g$ equacions llineals per a les constants $d_{r}$ . Existix una solució no trivial si

\det [c_{r s} - b_{n} δ_{r s}] = 0

Esta és una equació d'orde $g$ en $b_{n}$ , i té $g$ raïls. Per a cada raïl $b_{n} = b_{n}^{(k)}, k = 1, 2, ... g$ tenim una solució no trivial $d_{r}$ , digam, $d_{r}^{(k)}$ . Per la autoadhesión de $c_{r s}$ , totes les solucions són linealment independents. Per lo tant, formen la nova base

| ϕ_{n}^{(k)} ⟩ = \sum_{r = 1}^{g} d_{r}^{(k)} | ψ_{n r} ⟩

$| ϕ_{n}^{(k)} ⟩$ és simultàneament un eigenvector de $A$ i $B$ en valors propis $a_{n}$ i $b_{n}^{(k)}$ respectivament.

Discussió

Considerem els dos observables anteriors $A$ i $B$ . Supongam que existix un conjunt complet d'estats quàntics $| ψ_{n} ⟩$ , que siguen simultàneament un eigenvector de $A$ i $B$ . Llavors diem que $A$ i $B$ són compatibles. Si denotem els valors propis de $A$ i $B$ corresponents a $| ψ_{n} ⟩$ respectivament per $a_{n}$ i $b_{n}$ , podem escriure

A | ψ_{n} ⟩ = a_{n} | ψ_{n} ⟩

B | ψ_{n} ⟩ = b_{n} | ψ_{n} ⟩

Si el sistema es troba en un dels estats propis, digam, $| ψ_{n} ⟩$ , llavors tant $A$ com $B$ poden ser medits simultàneament en qualsevol nivell arbitrari de precisió, i obtindrem els resultats $a_{n}$ i $b_{n}$ respectivament. Esta idea pot estendre's a més de dos observables.

Eixemples d'observables compatibles

Les components cartesianas de l'operador de posició $𝐫$ són $x$ , $y$ i $z$ . Estes components són totes compatibles. De la mateixa manera, les components cartesianas de l'operador de moment $𝐩$ , és dir $p_{x}$ , $p_{y}$ i $p_{z}$ també són compatibles.

Definició formal

Un conjunt d'observables $A, B, C ...$ es denomina CCOC si:^[1]

Tots els observables commuten en parells.
Si especifiquem els valors propis de tots els operadors en el CCOC, identifiquem un únic vector propi (fins a una fase) en l'espai de Hilbert del sistema.

Donat un CCOC, podem elegir una base per al espai d'estats formada pels eigenvectores comuns dels operadors corresponents. Podem identificar unívocament cada vector propi (llevat fase) pel conjunt de valors propis que li correspon.

Discussió

Tingam un operador $\hat{A}$ d'un observable $A$ , que té tots els valors propis ${a_{n}}$ no degenerados. Com a resultat, hi ha un únic estat propi corresponent a cada valor propi, lo que nos permet etiquetar estos pels seus respectius valors propis. Per eixemple, l'estat propi de $\hat{A}$ corresponent al valor propi $a_{n}$ es pot etiquetar com $| a_{n} ⟩$ . Dit observable és en sí mateixa una OCS autosuficient.

No obstant, si alguns dels valors propis de $a_{n}$ són degenerados (com tindre nivells d'energia degenerados), llavors el resultat anterior ya no és vàlit. En tal cas, necessitem distinguir entre les funcions pròpies corresponents al mateix valor propi. Per a això, s'introduïx un segon observable (cridem-ho $B$ ), que és compatible en $A$ . La teorema de la compatibilitat nos diu que es pot trobar una base comuna de funcions pròpies de $\hat{A}$ i $\hat{B}$ . Ara be, si cada parell dels valors propis $(a_{n}, b_{n})$ especifica de forma única un vector d'estat d'esta base, afirmem haver format una CSCO: el conjunt ${A, B}$ . La degeneració en $\hat{A}$ queda completament eliminada.

Pot ocórrer, no obstant, que la degeneració no s'elimine completament. És dir, existix a lo manco un parell $(a_{n}, b_{n})$ que no identifica de forma única un vector propi. En este cas, repetim el procés anterior afegint un atre observable $C$ , que és compatible tant en $A$ com en $B$ . Si la base de les funcions pròpies comunes de $\hat{A}$ , $\hat{B}$ i $\hat{C}$ és única, és dir, especificada unívocament pel conjunt de valors propis $(a_{n}, b_{n}, c_{n})$ , llavors hem format una CCOC: ${A, B, C}$ . Si no, afegim un observable més compatible i continuem el procés fins a obtindre un CCOC.

Un mateix espai vectorial pot tindre distints conjunts complets d'operadors conmutativos.

Supongam que se nos dona un CCOC finit ${A, B, C, \dots,}$ . Llavors podem expandir qualsevol estat general en l'espai de Hilbert com

| ψ ⟩ = \sum_{i, j, k, ...} 𝒞_{i, j, k, ...} | a_{i}, b_{j}, c_{k}, ... ⟩

a on $| a_{i}, b_{j}, c_{k}, ... ⟩$ són els eigenvectores dels operadors $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$ , i formen una base de l'espai. És dir,

\hat{A} | a_{i}, b_{j}, c_{k}, ... ⟩ = a_{i} | a_{i}, b_{j}, c_{k}, ... ⟩

, etc.

Si medim $A, B, C, ...$ en l'estat $| ψ ⟩$ llavors la provabilitat de que medim simultàneament $a_{i}, b_{j}, c_{k}, ...$ ve donada per $| 𝒞_{i, j, k, ...} |^{2}$ .

Per a un conjunt complet d'operadors conmutativos, podem trobar una transformació unitària que simultàneament diagonalice a tots ells.

Vore també

Referències

↑ Cohen-Tannoudji, Claude (1977). Mecànica quàntica (vol. 1), Wiley, pp. 143-144. OCLC 2089460. ISBN 978-0-471-16433-3.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Conjunto completo de observables compatibles» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Cohen-Tannoudji, Claude (1977). Mecànica quàntica (vol. 1), Wiley, pp. 143-144. OCLC 2089460. ISBN 978-0-471-16433-3.

[1]