Base natural

En geometria diferencial, una base natural és un tipo base vectorial de l'espai tangente a una varietat diferenciable que pot ser associada naturalment a un sistema de coordenades curvilíneo.

Definició de base natural

Donada una varietat diferenciable $ℳ$ de dimensió n i un conjunt de n camps vectorials $V_1,\mathrm{...},V_n\in Tℳ$ definits sobre un conjunt obert A eixa varietat tals que en cada punt formen una base vectorial de l'espai tangente a la varietat, és una base natural si i només si existix una carta local o sistema de coordenades local $\phi :A\subset ℳ\to {ℝ}^n\wedge \phi (P)\mapsto (x_1(P),\mathrm{...},x_n(P))$ que complixca alguna de les següents condicions:

1. Els camps vectorials coincidixen en les derivades a lo llarc de les curves coordenades associades a les coordenades locals: ${V_i|}_P={\left({\partial }_{x_i}\right)}_P$.
2. La base dual associada als n camps vectorials en cada punt, està formada per 1-formes exactes, és dir, existixen ${\theta }^1,\mathrm{...},{\theta }^n\in T^{*}ℳ$ i una carta local, com la descrita anteriorment, tal que ${\theta }^i(V_j)={\delta }_j^i$ i ${\theta }^i=d{x}^i$.

Geometria euclídea

Sent $\overrightarrow{r}(x_i)$ el conjunt de punts de la varietat diferenciable encaixada en un espai eunclíde, en esta varietat es pot tractar per mig de coordenades generalisades $x_i$. La base natural o base del espai tangente a la varietat queda descrita per mig de les derivades parcials de la varietat respecte de les coordenades generalisades.