Aleatoriedad espacial completa

En l'àmbit de l'estadística, la aleatoriedad espacial completa descriu un procés puntual en el qual events puntuals ocorren dins d'una regió d'estudi d'una manera absolutament aleatòria. Este procés és a sovint modelat utilisant un únic paràmetro, o siga la densitat de punts, $\rho$ dins d'una regió determinada. Açò també és denominat un procés de Poisson espacial.

En numerosos contexts es presenta informació com a conjunts de punts distribuïts irregularment en una regió de l'espai, com per eixemple les ubicacions dels arbres en un bosc, la distribució dels nius de les aus, els núcleus en els teixits, o de persones malaltes dins d'una població baix risc. Es denomina a estos conjunts de senyes un patró de punts espacials i les ubicacions es denominen events, per a diferenciar a estos de punts aleatoris en la regió baix anàlisis.

Modele

L'hipòtesis de aleatoriedad espacial completa d'un patró espacial de punts establix que: el número d'events en qualsevol regió obedix a una distribució de Poisson en un contaje mig per subdivisió uniforme. L'intensitat d'events no varia a lo llarc del pla. Açò implica que no existixen interaccions entre els events. Per eixemple, es violaria la suposició d'independència si l'existència d'un event motivara o inhibira l'ocurrència d'atres events en la seua proximitat. L'estudi de la aleatoriedad espacial completa és essencial per a comparar medicions de fonts experimentals. Com a método de prova estadístic, el test de aleatoriedad espacial completa posseïx numeroses aplicacions en les ciències socials i estudis astronòmics.

Distribució

La provabilitat de trobar exactament $k$ punts dins de la regió és per lo tant:

$P(k,\rho ,V)=\frac{(V\rho {)}^k{e}^{-(V\rho )}}{k!}.$

El primer moment del qual, el número promig de punts en la regió, és $\rho V$. Este valor resulta intuïtiu ya que és el paràmetro de freqüència de Poisson.

La provabilitat de que el veí $N^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$ d'un punt donat, es trobe a una distància radial $r$ és:

$P_N(r)=\frac{D}{(N-1)!}{\lambda }^N{r}^{DN-1}{e}^{-\lambda r^D},$

a on $D$ és el número de dimensions, i $\Gamma$ és la funció Gamma, que quan el seu argument és sancer és simplement la funció factorial. $\lambda$ és un paràmetro depenent de la densitat, donat per l'expressió:

$\lambda =\frac{\rho {\pi }^{\frac{D}{2}}}{\Gamma (\frac{D}{2}+1)}.$

El valor esperable de $P_N(r)$ pot ser obtingut per mig de l'us de la funció Gamma utilisant moments estadístics. El primer moment és la distància entre partícules aleatoriamente distribuïdes en $D$ dimensions.

Bibliografia

• Improvement of Inter-event Distance Tests of Randomness in Spatial Point Processes [1] archivat en Wayback Machine.
• Diggle, P. J. (2003) "Statistical Analysis of Spatial Point Patterns", 2nd ed., Academic Press, New York.