Úngula

Una forma senzilla de úngula: la falca esfèrica

En geometria de l'espai, una úngula és una regió d'un sòlit de revolució, tallada per un pla oblicuo a la seua base. Un eixemple comú és la falca esfèrica. El terme "úngula" es referix a la piteu d'un cavall, una característica anatòmica que definix una classe de mamífers denominats ungulats.

El volum d'una úngula d'un cilindre va ser calculat per Grégoire de Saint-Vincent. Dos cilindres en ràdios iguals i eixos perpendiculars es creuen en quatre úngulas dobles. El bicilindro format per l'intersecció havia segut medit per Arquímedes en El método de les teoremes mecàniques, pero el manuscrit va permanéixer perdut fins a l'any 1906.

Un historiador del càlcul infinitesimal va descriure el paper de la úngula en l'integració en els térmens següents:

El propi Grégoire es va preocupar principalment d'ilustrar, fent referència a la "úngula", que l'integració volumètrica podria reduir-se, a través del ductus in planum, a una consideració de les relacions geomètriques entre les seues abatimientos en figures planes. La "úngula", no obstant, va resultar ser una valiosa font d'inspiració per a els qui la varen seguir i varen vore en ella un mig per a representar i transformar integrals de moltes maneres ingenioses.

Úngula cilíndrica

Úngula d'un cilindre circular recte

Una úngula cilíndrica de ràdio base r i altura h té volum

$V=\frac{2}{3}{r}^{2}h$ ,.

La seua superfície total és

$A=\frac{1}{2}\pi r^2+\frac{1}{2}\pi r\sqrt{r^2+h^2}+2rh$,

l'àrea de la superfície de la seua paret lateral curvada és

$A_s=2rh$,

i l'àrea de la superfície del seu sostre (sostre inclinat) és

$A_t=\frac{1}{2}\pi r\sqrt{r^2+h^2}$.

Demostració

Considere's un cilindre $x^2+y^2=r^2$ delimitat avall pel pla $z=0$ i dalt pel pla $z=ky$ a on k és la pendent del sostre inclinat:

$k=\frac{h}{r}$.

Tallant el volum en rebanadas paraleles a l'eix i, llavors una rebanada diferencial, en forma de prisma triangular, té volum

$A(x)dx$

a on

$A(x)=\frac{1}{2}\sqrt{r^2-x^2}\cdot k\sqrt{r^2-x^2}=\frac{1}{2}k(r^2-x^2)$

és l'àrea d'un triàngul rectàngul els vèrtiços del qual són, $(x,0,0)$, $(x,\sqrt{r^2-x^2},0)$ i $(x,\sqrt{r^2-x^2},k\sqrt{r^2-x^2})$, i la base del qual i altura són per tant $\sqrt{r^2-x^2}$ i $k\sqrt{r^2-x^2}$, respectivament. Llavors el volum de tota la úngula cilíndrica és

$V=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}A(x)dx=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\frac{1}{2}k(r^2-x^2)dx$

$=\frac{1}{2}k([r^{2}x{]}_{-r}^r-\left[\frac{1}{3}{x}^3{]}_{-r}^r\right)=\frac{1}{2}k(2r^3-\frac{2}{3}{r}^3)=\frac{2}{3}k{r}^3$

que és igual a

$V=\frac{2}{3}{r}^{2}h$

despuix de substituir $rk=h$.

Un àrea de superfície diferencial de la paret lateral curvada és

$d{A}_s=kr(\sin \theta )\cdot rd\theta =k{r}^2(\sin \theta )d\theta$,

àrea que pertany a un rectàngul casi pla delimitat pels vèrtiços $(r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)$, $(r\cos \theta ,r\sin \theta ,kr\sin \theta )$, $(r\cos (\theta +d\theta ),r\sin (\theta +d\theta ),0)$ i $(r\cos (\theta +d\theta ),r\sin (\theta +d\theta ),kr\sin (\theta +d\theta ))$, i que el seu ample i alt són per lo tant $rd\theta$ i (lo suficientment prop de) $kr\sin \theta$, respectivament. Llavors l'àrea de la superfície de la paret és

$A_s=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d{A}_s=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}k{r}^2(\sin \theta )d\theta =k{r}^2\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta$

a on l'integral dona com a resultat $-[\cos \theta {]}_0^{\pi }=-[-1-1]=2$, de modo que l'àrea de la paret és

$A_s=2k{r}^2$,

i substituint la relació $rk=h$

$A_s=2rh$.

La base de la úngula cilíndrica té l'àrea de la superfície de mig círcul de ràdio r: $\frac{1}{2}\pi r^2$, i la part superior inclinada de dita úngula és una mija elipse en eix semi-menor de llongitut r i semi-eix major de llongitut $r\sqrt{1+k^2}$, de modo que la seua àrea és

$A_t=\frac{1}{2}\pi r\cdot r\sqrt{1+k^2}=\frac{1}{2}\pi r\sqrt{r^2+(kr{)}^2}$

i substituint els rendiments $kr=h$

$A_t=\frac{1}{2}\pi r\sqrt{r^2+h^2}$. ∎

Observe's cóm l'àrea de la superfície de la paret lateral està relacionada en el volum: sent eixa àrea de superfície $2k{r}^2$, multiplicar-la per $dr$ dona el volum de la mitat d'una capa diferencial, que la seua integral és $\frac{2}{3}k{r}^3$, el volum buscat.

Quan la pendent k és igual a 1, llavors dita úngula és precisament un octau d'un bicilindro, el volum del qual és $\frac{16}{3}{r}^3$. Un octau d'este volum és $\frac{2}{3}{r}^3$.

Úngula cònica

Úngula d'un con recte circular

Una úngula cònica d'altura h, ràdio de la base r i pendent de la superfície plana superior k (si la base semicircular està en la part inferior, en el pla z = 0) té volum

$V=\frac{r^{3}kHI}{6}$

a on

$H=\frac{1}{\frac{1}{h}-\frac{1}{rk}}$

és l'altura del con del que s'ha tallat la úngula, i

$I=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{2H+kr\sin \theta }{(H+kr\sin \theta {)}^2}\sin \theta d\theta$.

L'àrea de la superfície de la paret lateral curvada és

$A_s=\frac{k{r}^2\sqrt{r^2+H^2}}{2}I$.

Com a comprovació de la coherència del resultat, considere's lo que succeïx quan l'altura del con aplega a l'infinit, de modo que el con es convertix en un cilindre en el llímit:

$\underset{H\to \mathrm{\infty }}{\lim }(I-\frac{4}{H})=\underset{H\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{2H}{H^2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta -\frac{4}{H})=0$

de modo que

$\underset{H\to \mathrm{\infty }}{\lim }V=\frac{r^{3}kH}{6}\cdot \frac{4}{H}=\frac{2}{3}k{r}^3$,

$\underset{H\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_s=\frac{k{r}^{2}H}{2}\cdot \frac{4}{H}=2k{r}^2$ i

$\underset{H\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_t=\frac{1}{2}\pi r^2\frac{\sqrt{1+k^2}}{1+0}=\frac{1}{2}\pi r^2\sqrt{1+k^2}=\frac{1}{2}\pi r\sqrt{r^2+(rk{)}^2}$,

els resultats del qual concorden en el cas cilíndric.

Demostració

Siga un con descrit per

$1-\frac{\rho }{r}=\frac{z}{H}$

a on r i H són constants i z i ρ són variables, en

$\rho =\sqrt{x^2+y^2},0\le \rho \le r$

i

$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$.

Tallant el con per un pla

$z=ky=k\rho \sin \theta$.

Substituint esta z en l'equació del con i rebujant ρ s'obté

${\rho }_0=\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{k\sin \theta }{H}}$

que per a un valor donat de θ és la coordenada radial del punt comú al pla i al con que està més alluntat de l'eix del con en un àngul θ des de l'eix x. La coordenada d'altura cilíndrica d'este punt és

$z_0=H(1-\frac{{\rho }_0}{r})$.

Llavors, en la direcció de l'àngul θ, una secció travessera de la úngula cònica s'assembla al triàngul

$(0,0,0)-({\rho }_0\cos \theta ,{\rho }_0\sin \theta ,z_0)-(r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)$.

Al rotar este triàngul en un àngul $d\theta$ sobre l'eix z, s'obté un atre triàngul en $\theta +d\theta$, ${\rho }_1$, $z_1$ substituït per $\theta$, ${\rho }_0$ i $z_0$ respectivament, a on ${\rho }_1$ i $z_1$ són funcions de $\theta +d\theta$ en lloc de $\theta$. Ya que $d\theta$ és infinitesimal, ${\rho }_1$ i $z_1$ també varien infinitesimalmente des de ${\rho }_0$ i $z_0$, per lo que per a efectes de considerar el volum de la piràmide trapezoidal diferencial, poden considerar-se iguals.

La piràmide trapezoidal diferencial té una base trapezoidal en una llongitut en la base (del con) de $rd\theta$, una llongitut en la part superior de $\left(\frac{H-z_0}{H}\right)rd\theta$ i una altura $\frac{z_0}{H}\sqrt{r^2+H^2}$, per lo que el trapezoide té un àrea

$A_T=\frac{rd\theta +\left(\frac{H-z_0}{H}\right)rd\theta }{2}\frac{z_0}{H}\sqrt{r^2+H^2}=rd\theta \frac{(2H-z_0)z_0}{2H^2}\sqrt{r^2+H^2}$.

Una altura des de la base trapezoidal fins al punt $(0,0,0)$ té una llongitut diferencialmente propenca a

$\frac{rH}{\sqrt{r^2+H^2}}$

una altitut d'un dels triànguls laterals de la piràmide trapezoidal. El volum de la piràmide és un terç de la seua àrea de base multiplicada per la llongitut de la seua altura, per lo que el volum de la úngula cònica és l'integral de l'expressió anterior:

$V=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{3}\frac{rH}{\sqrt{r^2+H^2}}\frac{(2H-z_0)z_0}{2H^2}\sqrt{r^2+H^2}rd\theta =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{3}{r}^2\frac{(2H-z_0)z_0}{2H}d\theta =\frac{r^{2}k}{6H}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(2H-k{y}_0)y_{0}d\theta$

a on

$y_0={\rho }_0\sin \theta =\frac{\sin \theta }{\frac{1}{r}+\frac{k\sin \theta }{H}}=\frac{1}{\frac{1}{r\sin \theta }+\frac{k}{H}}$

Substituint el costat dret en l'integral i fent alguna manipulació algebraica, s'obté la fòrmula per a obtindre el volum buscat.

Per a la paret lateral:

$A_s=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{A}_T=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{(2H-z_0)z_0}{2H^2}r\sqrt{r^2+H^2}d\theta =\frac{kr\sqrt{r^2+H^2}}{2H^2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(2H-z_0)y_{0}d\theta$

i l'integral del costat dret se simplifica a $H^{2}rI$. ∎

Com a comprovació de coherència, considere's lo que succeïx quan k aplega a l'infinit; llavors la úngula cònica deu convertir-se en un semicono.

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(I-\frac{\pi }{kr})=0$

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }V=\frac{r^{3}kH}{6}\cdot \frac{\pi }{kr}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\pi r^{2}H\right)$

que és la mitat del volum d'un con.

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_s=\frac{k{r}^2\sqrt{r^2+H^2}}{2}\cdot \frac{\pi }{kr}=\frac{1}{2}\pi r\sqrt{r^2+H^2}$

que és la mitat de l'àrea de la superfície de la paret curva d'un con.

Superfície de la part superior

Quan $k=H/r$, la "part superior" (és dir, la cara plana que no és semicircular com la base) té una forma parabòlica i l'àrea de la seua superfície és

$A_t=\frac{2}{3}r\sqrt{r^2+H^2}$.

Quan $k<H/r$ llavors la part superior té una forma elíptica (és dir, és menys de la mitat d'una elipse) i la seua àrea de superfície és

$A_t=\frac{1}{2}\pi x_{max}(y_1-y_m)\sqrt{1+k^2}\Lambda$

a on

$x_{max}=\sqrt{\frac{k^2{r}^4{H}^2-k^4{r}^6}{(k^2{r}^2-H^2{)}^2}+r^2}$,

$y_1=\frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{k}{H}}$,

$y_m=\frac{k{r}^{2}H}{k^2{r}^2-H^2}$,

$\Lambda =\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\arcsin (1-\lambda )-\frac{1}{4}\sin (2\arcsin (1-\lambda ))$ i

$\lambda =\frac{y_1}{y_1-y_m}$.

Quan $k>H/r$ llavors la part superior és una secció d'una hipérbola i la seua superfície és

$A_t=\sqrt{1+k^2}(2Cr-aJ)$

a on

$C=\frac{y_1+y_2}{2}=y_m$,

$y_1$ és com dalt,

$y_2=\frac{1}{\frac{k}{H}-\frac{1}{r}}$,

$a=\frac{r}{\sqrt{C^2-{\Delta }^2}}$,

$\Delta =\frac{y_2-y_1}{2}$,

$J=\frac{r}{a}B+\frac{{\Delta }^2}{2}\log \left|\frac{\frac{r}{a}+B}{\frac{-r}{a}+B}\right|$,

a on el logaritmo és natural, i

$B=\sqrt{{\Delta }^2+\frac{r^2}{a^2}}$.

Vore també

• Falca esfèrica
• Sòlit de Steinmetz