Éléments de géométrie algébrique

Els Éléments de géométrie algébrique ("Elements de geometria algebraica ") d'Alexander Grothendieck (assistit per Jean Dieudonné), o EGA per a abreviar, és un tractat rigorós, en francés, sobre geometria algebraica que va ser publicat (en huit parts o fascículos) de 1960 a 1967 pel Institut dones Hautes Études Scientifiques. En ell, Grothendieck va establir els fonaments sistemàtics de la geometria algebraica, basant-se en el concepte d'esquemes, que ell mateixa va definir. L'obra es considera ara la primera pedra i la referència bàsica de la geometria algebraica moderna.

Edicions

Inicialment es varen planejar tretze capítuls, pero només es varen publicar els primers quatre (per a un total d'aproximadament 1500 pàgines). Gran part del material que s'hauria trobat en els següents capítuls es pot trobar, en una forma menys polida, en el Séminaire de géométrie algébrique (conegut com SGA). De fet, com explica Grothendieck en el prefacio de la versió publicada de SGA, en 1970 havia quedat clar que incorporar tot el material planejat en EGA requeriria canvis significatius en els capítuls anteriors ya publicats i que, per lo tant, les perspectives de completar EGA a curt determini varen ser llimitats. Un eixemple obvi ho proporcionen les categories derivades, que es varen convertir en una ferramenta indispensable en els volums posteriors de SGA, pero que encara no es varen utilisar en EGA III perque la teoria encara no estava desenrollada en eixe moment. Per lo tant, es va dedicar un esforç considerable a conseguir que els volums SGA publicats alcançaren un alt grau d'integritat i rigor. Ans que s'abandonara el treball sobre el tractat, entre 1966 i 1967 hi havia plans per a ampliar el grup d'autors per a incloure als estudiants de Grothendieck, Pierre Deligne i Michel Raynaud, com ho demostra la correspondència publicada entre Grothendieck i David Mumford. La carta de Grothendieck del 4 de novembre de 1966 a Mumford també indica que l'estructura revisada de la segona edició ya estava en vigor en eixe moment, i que el Capítul VIII ya estava destinat a cobrir l'esquema Picard. En eixa carta estimava que, al ritme de redacció fins a eixe moment, els següents quatre capítuls (V a VIII) haurien tardat huit anys en completar-se, lo que indica una extensió prevista comparable a la dels primers quatre capítuls, que s'havien estat preparant per a uns huit anys en eixe moment.

No obstant, Grothendieck va escriure una versió revisada de EGA I que va ser publicada per Springer-Verlag . Actualisa la terminologia, reemplaçant "presquema" per "esquema" i "esquema" per "esquema separat", i emfatisa en gran medida l'us de functores representables. El nou prefacio de la segona edició també inclou un pla llaugerament revisat del tractat complet, ara dividit en dotze capítuls.

El EGA V de Grothendieck, que tracta les teoremes de tipo Bertini, està disponible fins a cert punt en el lloc web de Grothendieck Circle. Monografie Matematyczne en Polònia va acceptar este volum per a la seua publicació, pero el procés d'edició és prou llent (a partir de 2010). James Milne ha conservat algunes de les notes originals de Grothendieck i una traducció de les mateixes a l'anglés. És possible que estiguen disponibles en els seus llocs web relacionats en l'Universitat de Michigan en Ann Arbor.

Ademés dels capítuls pròpiament dits, es va dividir un extens "Capítul 0" sobre varis preliminars entre els volums en els que va aparéixer el tractat. Els temes tractats van des de la teoria de categories, la teoria de la gavilla i la topología general fins a l'àlgebra conmutativa i l'àlgebra homológica. La part més llarga del Capítul 0, anexa al Capítul IV, té més de 200 pàgines.

Grothendieck mai va donar permís per a que es republicara la segona edició de EGA I, per lo que les còpies són rares pero es troben en moltes biblioteques. El treball sobre EGA es va vore finalment interromput per l'eixida de Grothendieck, primer del IHÉS en 1970 i poc despuix del establishment matemàtic. Les notes incompletes de Grothendieck sobre EGA V es poden trobar en Grothendieck Circle.

En térmens històrics, el desenroll de l'enfocament EGA va marcar el sagell de l'aplicació de la teoria de la gavilla a la geometria algebraica, iniciada per l'artícul bàsic de Serre, FAC. També contenia la primera exposició completa de l'enfocament algebraic del càlcul diferencial, a través de parts principals. L'unificació fonamental que va propondre (vore, per eixemple, teories unificadoras en matemàtiques) ha resistit la prova del temps.

EGA ha segut escanejat per NUMDAM i està disponible en el seu lloc web en "Publications mathématiques de l'IHÉS", volums 4 (EGAI), 8 (EGAII), 11 (EGAIII.1re), 17 (EGAIII.2i), 20 (EGAIV .1re), 24 (EGAIV.2i), 28 (EGAIV.3i) i 32 (EGAIV.4i).