Teorema multinomial

En matemàtica, la teorema multinomial descriu cóm s'expandix una potencia d'una suma de variables, en térmens de potències de les variables d'eixa suma. És la generalisació del teorema del binomi a multinomios.

Teorema

Per a qualsevol sancer positiu m i qualsevol sancer no negatiu n, la teorema indica cóm una suma en m térmens s'expandix quan s'eleva a una potència arbitrària n:

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m})^{n} = \sum_{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{m}^{k_{m}}

a on $(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}}) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{m}!}$ és un coeficient multinomial. La suma es pren sobre totes les combinacions d'índexs sancers no-negatius $k_{1}$ a $k_{m}$ , que la seua sumixca siga igual a n:

$k_{i} \geq 0 / k_{1} + k_{2} + \dots + k_{m} = n .$

És dir, per a cada terme de l'expansió, els exponents de les variables $x_{i}$ deuen sumar n. Ademés, de la mateixa manera que en la teorema del binomi, les cantitats de la forma $x_{i}^{0}$ , es prenen com a iguals a 1 (inclús quan $x_{i}$ és igual a 0).

En el cas en que es tenen $m = 2$ variables, esta afirmació es reduïx a la del Teorema del binomi:

$(x_{1} + x_{2})^{n} = \sum_{k_{1} + k_{2} = n} (\binom{n}{k_{1}, k_{2}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} = \sum_{k_{1} = 0}^{n} \frac{n!}{k_{1}! (n - k_{1})!} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{n - k_{1}} = \sum_{k_{1} = 0}^{n} (\binom{n}{k_{1}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{n - k_{1}} .$

Eixemples

Considerem el cas de $m = 3$ variables i exponent $n = 5$ . És dir, volem desenrollar la següent potència d'una suma de tres variables: $(x_{1} + x_{2} + x_{3})^{5}$ . La teorema del multinomio afirma que el desenroll és de la forma:

$(x_{1} + x_{2} + x_{3})^{5} = \sum_{k_{1} + k_{2} + k_{3} = 5} (\binom{5}{k_{1}, k_{2}, k_{3}}) x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} x_{3}^{k_{3}}$ , a on es definix cada coeficient multinomial com: $(\binom{5}{k_{1}, k_{2}, k_{3}}) = \frac{5!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}!}$ .

És dir que es té un sumant per cada terna d'exponents sancers no negatius $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ , que la seua sumixca siga cinc: $k_{1} + k_{2} + k_{3} = 5$ . Per eixemple, els valors $k_{1} = 3, k_{2} = 0, k_{3} = 2$ , corresponen al sumant $x_{1}^{3} x_{2}^{0} x_{3}^{2} = x_{1}^{3} x_{3}^{2}$ . La teorema del multinomio afirma que el coeficient que multiplica a dit sumant és: $(\binom{5}{3, 0, 2}) = \frac{5!}{3! 0! 2!} = 10.$

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema multinomial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.