Teorema integral de Kirchhoff

Archiu:Gustav Robert Kirchhoff.jpg

Fotografia de Fresnel-Kiechhoff.

La teorema integral de Kirchhoff (a voltes conegut com la teorema integral de Fresnel-Kirchhoff) se servix de les identitats de Green per a deduir la solució de l'equació d'ona homogénea en un punt arbitrari P en térmens dels valors de la solució de la pròpia equació d'ona i la seua derivada de primer orde en tots els punts sobre una superfície arbitrària que tanca a P.

Equació

Ones monocromàtiques

L'integral té la següent forma per a una ona monocroma:

$U(𝐫)=\frac{1}{4\pi }\underset{S}{\int }[U\frac{\partial }{\partial \widehat{𝐧}}\left(\frac{e^{iks}}{s}\right)-\frac{e^{iks}}{s}\frac{\partial U}{\partial \widehat{𝐧}}]dS,$

a on l'integració es realisa sobre una superfície arbitrària S (que inclou a r), s és la distància des de l'element de superfície al punt r, i ∂/∂n denota la diferencial en la superfície normal (una derivada direccional). En esta equació s'han tingut en conte els punts normals dins del volum considerat; si s'usa el vector normal exterior, més habitual, l'integral té el signe opost.

Ones no monocromàtiques

Es pot deduir una forma més general per a les ones no monocromàtiques. El fasor de l'ona es pot representar per mig d'una integral de Fourier de la forma

$V(r,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int U_{\omega }(r)e^{-i\omega t}d\omega ,$

a on, per l'inversió de Fourier, es té

$U_{\omega }(r)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int V(r,t)e^{i\omega t}dt.$

La teorema integral (citat anteriorment) s'aplica a cada component de Fourier $U_{\omega }$, i s'obté la següent expressió:

$V(r,t)=\frac{1}{4\pi }\underset{S}{\int }\{[V]\frac{\partial }{\partial n}\left(\frac{1}{s}\right)-\frac{1}{cs}\frac{\partial s}{\partial n}\left[\frac{\partial V}{\partial t}\right]-\frac{1}{s}\left[\frac{\partial V}{\partial n}\right]\}dS,$

a on els corchetes en els térmens en V denoten valors retardados, és dir, els valors en l'instant t - s/c.

Kirchhoff va demostrar que l'equació anterior es pot aproximar en molts casos a una forma més simple, coneguda com la fòrmula de la difracció de Kirchhoff, o de Fresnel–Kirchhoff, que és equivalent al Principi de Fresnel - Huygens, pero proporciona una fòrmula per al factor d'inclinament, que no es definix en este últim. L'integral de la difracció es pot aplicar a una àmplia gama de problemes en òptica.

Llectures adicionals

• The Cambridge Handbook of Physics Formules, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
• Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
• Light and Matter: Electromagnetism, Optics, Spectroscopy and Lasers, Y.B. Band, John Wiley & Sons, 2010, ISBN 978-0-471-89931-0
• The Light Fantastic – Introduction to Classic and Quàntum Optics, I.R. Kenyon, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-856646-5
• Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3