Teorema de màxima potència

En ingenieria elèctrica, electricitat i electrònica, la teorema de màxima transferència de potència establix que, donada una font, en una impedència de font fixada de bestreta, l'impedència de càrrega que maximizar la transferència de potència és aquella en un valor igual al conjugat de l'impedència de font.

La teorema establix cóm triar (per a maximizar la transferència de potència) la resistència de càrrega, una volta que la resistència de font ha segut fixada, no lo contrari. No diu cóm triar la resistència de font, una volta que la resistència de càrrega ha segut fixada. Donada una certa resistència de càrrega, la resistència de font que maximizar la transferència de potència és sempre zero, independentment del valor de la resistència de càrrega.

Es diu que Moritz von Jacobi va ser el primer en descobrir este resultat, també conegut com a Llei de Jacobi.

Demostració

Siga un circuit en una font d'alimentació ${𝐕}_0$, la seua impedència ${𝐙}_0$ i l'impedència de càrrega ${𝐙}_L$. Siga la potència dissipada sobre la càrrega:

$P({𝐙}_L)=RE({𝐕}_L{𝐈}_L^{*})=RE\left({𝐕}_0\frac{{𝐙}_L}{{𝐙}_L+{𝐙}_0}\frac{{𝐕}_0^{*}}{({𝐙}_L+{𝐙}_0{)}^{*}}\right)=RE(|{𝐕}_0{|}^2\frac{{𝐙}_L}{|{𝐙}_L+{𝐙}_0{|}^2})=|{𝐕}_0{|}^2\frac{R_L}{|{𝐙}_L+{𝐙}_0{|}^2}$

Per a triar el valor de $X_L$ que maximizar la funció, cal minimisar el denominador per ser allí l'únic lloc en a on apareix. D'ací sorgix la primera condició, que és que $X_L=-X_0$. Queda llavors, la potència definida com una funció d'una única variable real:

$P(R_L)=\frac{R_L}{(R_L+R_0{)}^2}$

Que en obtindre la primera derivada, té un únic punt crític en $R_L=R_0$, que es confirma com a màxim en verificar-se que $\frac{d^{2}P}{d{R}_L^2}{|}_{R_L=R_0}<0$.

Després, deurà complir-se ${𝐙}_L={𝐙}_0^{*}$ per a la màxima transferència de potència. ∎

Maximizar transferència de potència versus eficiència de potència

La teorema va ser originalment malinterpretado (notablement per Joule) per a sugerir que un sistema que consistix d'un motor elèctric comandado per una bateria no podria superar el 50 % d'eficiència puix, quan les impedència estigueren adaptades, la potència perduda com a calor en la bateria seria sempre igual a la potència entregada al motor. En 1880, Edison (o el seu colega Francis Robbins Upton) mostra que esta suposició és falsa, en donar-se conte de que la màxima eficiència no és lo mateix que transferència de màxima potència. Per a alcançar la màxima eficiència, la resistència de la font (siga una bateria o un dínamo) deuria fer-se lo més chicoteta possible. Baixe la llum d'este nou concepte, varen obtindre una eficiència propenca al 90 % i varen provar que el motor elèctric era una alternativa pràctica al motor tèrmic.

Potència transferida en funció de l'adaptació. Solament es té en conte la part resistiva. Se supon que les reactàncies estan compensades.

En eixes condicions la potència dissipada en la càrrega és màxima i és igual a:

$P_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{V^2}{4R_g}$

La condició de transferència de màxima potència no resulta en eficiència màxima. Si definim l'eficiència $\eta$ com la relació entre la potència dissipada per la càrrega i la potència generada per la font, es calcula immediatament del circuit de dalt que

$\eta =\frac{R_{\mathrm{c}}}{R_{\mathrm{c}}+R_{\mathrm{g}}}=\frac{1}{1+\frac{R_{\mathrm{g}}}{R_{\mathrm{c}}}}$

L'eficiència quan hi ha adaptació és de sol 50 %. Per a tindre eficiència màxima, la resistència de la càrrega deu ser infinitament més gran que la resistència del generador. Per supost en eixe cas la potència transferida tendix a zero. Quan la resistència de la càrrega és molt chicoteta comparada a la resistència del generador, tant l'eficiència com la potència transferida tendixen a zero.

En la curva de la dreta hem representat la potència transferida relativa a la màxima possible (quan hi ha adaptació) sobre el cocient entre la resistència de càrrega i la del generador. Se supon que les reactàncies estan compensades completament. Note's que el màxim de la curva no és crític. Quan les dos resistències estan desadaptadas d'un factor 2, la potència transferida és encara 89 % del màxim possible.

Quan l'impedència de la font és una resistència pura (sense part reactiva), l'adaptació es fa en una resistència i és vàlida per a totes les freqüències. En canvi, quan l'impedència de la font té una part reactiva, l'adaptació solament es pot fer a una sola freqüència. Si la part reactiva és gran (comparada a la part resistiva), l'adaptació serà molt sensible a la freqüència, lo que pot ser un inconvenient.

Referències

• H.W. Jackson (1959) Introduction to Electronic Circuits, Prentice-Hall.