Teorema de Monge
En geometria, la teorema de Monge, nomenat aixina en referència al matemàtic francés Gaspard Monge, establix que per a qualsevol grup de tres círculs en un pla, cap dels quals està completament dins d'un dels atres, els punts d'intersecció de cada u dels tres parells de llínees tangentes externes són colineales.
Per a qualsevol parell de círculs en un pla, una tangente externa és una llínea recta que és tangente a dos círculs pero que no passa entre ells. Hi ha dos llínees tangentes externes a dos círculs. Cada u d'estos parells té un punt d'intersecció únic en el pla euclideo estés. La teorema de Monge establix que els tres punts donats per trio de círculs estan sempre en llínea recta. En el cas de que dos dels círculs siguen del mateix tamany, les dos llínees tangentes externes són paraleles. En este cas, la teorema de Monge afirma que els atres dos punts d'intersecció deuen estar en una llínea paralela a eixes dos tangentes externes. En atres paraules, si es considera que les dos tangentes externes es creuen en el punt de l'infinit, els atres dos punts d'intersecció deuen estar en una llínea que passa pel mateix punt en l'infinit, per lo que la llínea entre ells pren el mateix orientació que la tangente externa.
Demostració
[editar | editar còdic]La demostració més simple ampra una analogia tridimensional.[1] Faça's que els tres círculs es corresponguen en tres esferes del mateix radi; els círculs corresponen als equador que resulten d'un pla que passa a través dels centres de les esferes. Les tres esferes es poden intercalar de forma única entre dos plans. Cada parell d'esferes definix un con que és tangente externament a abdós esferes, i el vèrtiç d'este con correspon al punt d'intersecció de les dos tangentes externes, és dir, el centre de homotecia extern. Ya que una generatriz del con es troba en cada pla, el vèrtiç de cada con deu estar en abdós plans, i per lo tant, en algun punt de la llínea d'intersecció dels dos plans. Per lo tant, els tres centres homotéticos externs són colineales.
La teorema de Monge també es pot demostrar per mig de l'us del teorema de Desargues. Una atra prova senzilla utilisa el teorema de Menelao, ya que les relacions es poden calcular en els diàmetros de cada círcul, que s'eliminaran per mig de formes cíclicas quan s'use la citada teorema.
La teorema de Desargues també afirma que 3 punts d'intersecció de tangentes es troben sobre una recta, i té una prova similar usant la mateixa idea de considerar-la en 3 dimensions el model inicial de 2, descrivint la llínea com una intersecció de 2 plans.
Vore també
[editar | editar còdic]- Centre de homotecia
- Problema de Apolonio, construir un círcul (no necessàriament únic) tangente atres tres círculs donats
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Wells, David (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, pp. 153–154. ISBN 0-14-011813-6.
Bibliografia
[editar | editar còdic]- Graham, L. A. (1959). Ingenious Mathematical Problems and Methods, New York: Dover. ISBN 0486205452. Consultat el 1 de decembre de 2012.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Monge» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.