Teorema de Marden

Archiu:Marden theorem.svg

Un triàngul i la elipse inscrita de Steiner. Els zeros de p(z) són els punts negres, els zeros de p'(z) són els punts rojos). El punt central vert és el zero de p"(z). La teorema de Marden afirma que els punts rojos són focs de la elipse de Steiner.

En matemàtiques, la teorema de Marden, cridat aixina per Morris Marden, dona un relació geomètrica entre els zeros d'un polinomi de tercer grau en coeficients complexos i els zeros del seu derivada. Esta teorema està basada en una teorema anterior de J. Siebeck, de 1864, fet reconegut pel propi Marden en el seu treball.

Un polinomi cúbic té tres zeros en el pla complex, que en el cas més general formen un triàngul, el teorema de Gauss-Lucas afirma que les raïls de la seua derivada cauen també en este triàngul. El teorma de Marden precisa més concretament la seua posició:

Suponga's que els tres zeros complexos d'un polinomi p(z) de tercer grau són z1, z2 i z3 i suponga's que estos tres punts del pla complex no siguen colineales. Llavors existix una única elipse inscrita en el triàngul de vèrtiços z1, z2, z3 i tangente als costats en els seus punts mijos: l'elipse de Steiner. Els focs de dita elipse són precisament els zeros del polinomi derivat p' (z)

Pel teorema de Gauss-Lucas, la raïl de la doble derivada d'un polinomi p"(z) deu ser el promig dels dos focs de la elipse, que és el punt central de la elipse i a la seua volta el centroide del triàngul.

En el cas especial de que el triàngul siga equilátero (tal com succeïx, per eixemple, per al polinomi p(z) = z³ - 1), la elipse inscrita degenera en un círcul, i la derivada de p té una raïl doble en el centre del círcul. Recíprocamente, si la derivada té una raïl doble, llavors el triàngul deu ser equilátero.

Una versió més general de la teorema, deguda a Linfield (1920), és aplicable a polinomis p(z) = (z - a)ⁱ (z - b)^j (z - c)^k els graus del qual complixquen que i + j + k puga ser major que tres, pero que només tinga tres raïls a, b i c. Per a tals polinomis, les raïls de la derivada poden ser raïls múltiples d'un polinomi donat (les raïls els exponents de les quals són majors a un) i en els focs d'una elipse els punts de la qual de tangència al triàngul dividixen als seus costats en els ràtios i : j, j : k i k : i.

Una atra generalisació devida a Parish (2006) és per a n-gonos: alguns n-gonos tenen admeten una elipse inscrita que siga tangente a cada costat en el punt mig. La teorema de Marden encara és aplicable: els focs d'esta elipse tangente en els punts mijos són zeros del polinomi derivat que els seus zeros són els vèrtiços del n-gono.

Història

Jörg Siebeck va descobrir esta teorema 81 anys ans que Marden escriguera sobre ell. No obstant, Donen Kalman va titular el seu artícul en American Mathematical Monthly «Marden's theorem» [Teorema de Marden] perque: «Ho vaig cridar Teorema de Marden perque vaig llegir sobre ell per primera volta en el maravellós llibre de M. Marden». Kalman va guanyar en 2009 el Premi Lester R. Ford de la Mathematical Association of America per este artícul de 2008.

Marden (1945, 1966) va atribuir lo que ara es coneix com a teorema Marden a Siebeck (1864) i va citar nou artículs que incloïen una versió de la teorema.

Vore també

• teorema de Bôcher per a funcions racionals

Referències

Bibliografia

• (2008a).The American Mathematical Monthly.115

330–338.ISSN 0002-9890.

• (2008b).Journal of Online Mathematics and its Applications.

• (1920).Bulletin of the American Mathematical Society.27

17–21.doi:10.1090/S0002-9904-1920-03350-1..

• (1945).Bulletin of the American Mathematical Society.51(12)

935–940.doi:10.1090/S0002-9904-1945-08470-5.

• (1966).American Mathematical Society.Providence, R.I.:3
• (2006).Forum Geometricorum.6

285–288: Proposition 5.

• (1864).Journal für die regne und angewandte Mathematik.64

175–182.ISSN 0075-4102.

Enllaços exteriors

Demostració de Carlson de la teorema de Marden (1 pàgina)