Teorema de Maekawa

En este model pla d'un sol vèrtiç, el número de plecs montanya (els cinc plecs en el costat coloreat per fòra) és dos unitats més alt que el número de plecs entanque (els tres plecs en el costat blanc per fòra).

La teorema de Maekawa és un teorema de la disciplina de les matemàtiques del origami que rep el seu nom del matemàtic japonés Jun Maekawa. Tracta sobre patrons de plecs models d'origami plans (que es poden esclafar fins a formar una figura plana) i enuncia que en cada vèrtiç, la diferència de plecs entanque i montanya en qualsevol direcció és sempre dos. El mateix resultat també va ser descobert per Jacques Justin i, abans inclús, per S. Murata.

Enunciat

L'enunciat de la teorema tracta sobre figures de origami planes els plecs de les quals convergixen en un centre en ser desplegades. Els plecs d'una figura plana es poden dividir en dos categories: els plegues montanya (en avant denotats $M$) i els plecs entanque (en avant denotats $V$). Esta classificació pot fer-se de dos maneres: o es consideren els plecs en ànguls cap a fòra com a montanya i els plecs en ànguls cap a dins com a vall, o viceversa. Note's que esta elecció depén d'en quin sentit s'estiga mirant la figura, puix basta girar-la per a que els plecs cap a fòra es convertixquen en cap a dins i viceversa.

Considerant els plecs en ànguls cap a fòra com a plecs de montanya, la teorema de Maekawa establix que

$M-V=2$.

De lo contrari (o, simplement, mirant la figura per l'atre costat), que

$M-V=-2$.

Abdós casos es poden englobar en el següent enunciat:

$|M-V|=2$.

Esbós de la demostració

Primer establim que els plegues montanya seran aquells que apunten cap a fòra, és dir, que tenen un àngul interior de $0^{\circ }$, puix la figura està doblada. Siga $n=M+V$ el número total de plecs de la figura. Considerem un pla perpendicular a la figura doblada (queda plegada en un pla) que interseque tots els plecs. Considerem el polígon en vèrtiços les interseccions d'este pla en la figura doblada. Com la figura té $n$ plecs, el polígon té $n$ vèrtiços i la suma dels ànguls interiors d'un tal polígon és de $(n-2)\cdot 180^{\circ }$. Com el pla intersecaba tots els plecs, esta és, de fet, la suma de tots els ànguls interiors de la figura plegada.

Oblidant-nos ara del polígon, anem a calcular el mateix número d'una atra forma. Havent elegit els plegues montanya com els que apunten cap a fòra, els plecs entanque apuntaran cap a dins, és dir, tindran ànguls interiors (puix la figura està plegada) de $360^{\circ }$. Aixina, la suma dels ànguls interiors es pot calcular també com $0^{\circ }\cdot M+360^{\circ }\cdot V$. Com la suma d'ànguls interiors no pot tindre dos valors distints, tenim que $0^{\circ }\cdot M+360^{\circ }\cdot V=(n-2)\cdot 180^{\circ }\stackrel{\text{def }n}{=}(M+V-2)\cdot 180^{\circ }$. Rebujant se seguix que $M-V=2$.

Si s'hagueren definit els ànguls entanque i montanya al revés (o si, equivalentemente, s'estiguera mirant la figura des de l'atre costat), $M$ i $V$ intercanvien els seus rols i obtenim simétricamente que $V-M=2\iff M-V=-2$.

En qualsevol cas, hem demostrat que $|M-V|=2$. $◻$