Teorema de Hurwitz (anàlisis complex)

En anàlisis complex, un camp de les matemàtiques, la teorema de Hurwitz, cridat aixina per Adolf Hurwitz, expon aproximadament que, baix certes condicions, si una successió de funcions holomorfas convergixen uniformemente a una funció holomorfa sobre conjunts compactes, llavors despuix d'un temps eixes funcions i la funció llímit tenen el mateix número de zeros en qualsevol disc obert.

Més precisament, siga $G$ un conjunt obert en el pla complex, i considere's una successió de funcions holomorfas $(f_n)$ que convergix uniformemente sobre subconjunts compactes de $G$ a una funció holomorfa $f.$ Siga $D(z_0,r)$ un disc obert de centre $z_0$ i ràdio $r$ que és contingut en $G$ junt en la seua frontera. assumixca's que $f(z)$ no té zeros sobre la frontera del disc. Llavors, existix un número natural $N$ tal que para tot $n$ major que $N$ les funcions $f_n$ i $f$ tenen el mateix número de zeros en $D(z_0,r).$

La condició de que $f$ no tinga zeros sobre la frontera del disc és necessària. Per eixemple, considere's el disc unitari, i la successió

$f_n(z)=z-1+\frac{1}{n}$

per a tot $z.$ Esta convergix uniformemente a $f(z)=z-1$ la qual no té zeros dins del disc, pero cada $f_n(z)$ té exactament un zero en el disc, que és $1-1/n.$

Este resultat es complix més generalment per a conjunts convexos acotats pero és més usual expressat per a discs.

Una conseqüència immediata d'esta teorema és el següent corolari. Si $G$ és un conjunt obert i una successió de funcions holomorfas $(f_n)$ convergix uniformemente sobre subconjunts compactes de $G$ a una funció holomorfa $f,$ i més encara, si $f_n$ no és zero en cap punt en $G$, llavors $f$ és o be idénticamente zero o mai és zero.

Vore també

• Teorema de Rouché

Referències

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, New York, 1978.
• E. C. Titchmarsh, The Theory of Functions, second edition (Oxford University Press, 1939; reprinted 1985), p. 119.
• {{{1}}} en Springer
• Plantilla:Planetmath