Teorema de Herbrand-Ribet

En matemàtiques, la Teorema de Herbrand–Ribet és un resultat del número de classe de certs camps de números. És un reforç del teorema de Kummer en el sentit que l'número primo p dividix el número de classe del camp ciclotòmic de la p-iésimas raïls de l'unitat si i solament si p dividix al numerador del n-ésimo número de Bernoulli B_n per a algun n, 0 < n < p − 1. La teorema de Herbrand–Ribet especifica en particular, quan és que p dividix a B_n.

El grup de Galois Σ del camp ciclotòmic de les p-iésimas raïls de l'unitat d'un primer p, $\mathbb{Q}(\zeta )$ en ${\zeta }^p=1$, consistix de p − 1 elements del grup σ_a, a on σ_a està definit per ${\sigma }_a(\zeta )={\zeta }^a$. D'acort al menuda teorema de Fermat, en l'anell dels sancers p-ádicos ${\mathbb{Z}}_p$ es tenen p − 1 raïls de l'unitat, cada una de les quals és congruent mod p en algun número en el ranc entre 1 i p − 1; per lo tant es pot definir un caràcter de Dirichlet ω (el caràcter de Teichmüller) en valors en ${\mathbb{Z}}_p$ si es requerix que per a n coprimos a p, ω(n) siga congruent en n mòdul p. La partix p del grup de classe és un ${\mathbb{Z}}_p$-mòdul, i es poden aplicar elements en l'anell de grup ${\mathbb{Z}}_p[\Sigma ]$ a ell i obtindre elements del grup de classe. Definint un element d'idempotencia de l'anell de grup per a cada n des d'1 fins a p − 1, com

${ϵ}_n=\frac{1}{p-1}\sum _{a=1}^{p-1}\omega (a){\sigma }_a^{-1}.$

Podem dividir la partix p del grup de classe ideal G de $\mathbb{Q}(\zeta )$ per mig dels seus idempotents; si G és el grup de classe ideal, llavors G_n = ε_n(G).

Llavors es té la teorema de Herbrand–Ribet: G_n és notrivial si i solament si p dividix al número de Bernoulli B_p−n. Les part que diu que p dividix B_p−n si G_n no és trivial és l'aporte d'Herbrand.

L'invers, que si p dividix B_p−n llavors G_n no és trivial es deu a Kenneth Ribet, i és significativament més difícil. Per la teoria de camps de classe, açò només pot ser verdader si existix una extensió no-ramificada del camp de les p-ésimas raïls de l'unitat per una extensió cíclica de grau p que es comporta en la forma especificada baix l'acció de Σ; Ribet va demostrar açò construint esta extensió utilisant métodos de la teoria de les formes modular. Una demostració més simple de l'aporte de Ribet a la teorema de Herbrand es pot consultar en el llibre de Washington.

Barry Mazur i Andrew Wiles, varen ampliar i varen desenrollar els métodos de Ribet en els seus treballs per demostrar la Conjectura principal de la Teoria de Iwasawa, un corolari de la qual és el reforç de la teorema de Herbrand-Ribet: la potència de p que dividix B_p−n és exactament la potència de p que dividix l'orde de G_n.

Vore també

• Teoria de Iwasawa