Teorema de Gauss-Márkov

En estadística, la Teorema de Gauss-Márkov, formulat per Carl Friedrich Gauss i Andréi Márkov, establix que en un model llineal general (MLG) en el que s'establixquen els següents suposts:

• Correcta especificació: el MLG ha de ser una combinació llineal dels paràmetros ($\beta$) i no necessàriament de les variables: $Y=X\beta +u$
• Mostreig aleatori simple: la mostra d'observacions del vector $(y_i,x_{2i},x_{3i},\dots ,x_{ki})$ és una mostra aleatòria simple i, per lo tant, el vector $(y_i,X{\text{'}}_i)$ és independent del vector $(y_i,X{\text{'}}_j)$
• Esperança condicionada dels destorbament nula: $E(u_i|X{\text{'}}_i)=0$
• Correcta identificació: la matriu de regresoras (X) ha de tindre ranc complet: $\text{rg}(X)=K\le N$
• Homocedasticidad: $Var(U|X)={\sigma }^{2}I$

Eixemple de tendència llineal que coincidix en la teorema de Gauss-Márkov.

l'estimador mínim quadràtic ordinari (MCO) de B és l'estimador llineal i insesgado òptim (ELIO o BLUE: best linear unbiased estimator), és dir, l'estimador MCO és l'estimador eficient dins de la classe d'estimadors llineals i insesgados.

Dit teorema es basa en 10 supòsits, denominats «suposts de Gauss-Márkov»; que servixen com a hipòtesis a la demostració del mateix:

1. El model està correctament especificat
2. Deu ser llineal en els paràmetros
3. El valor de la mija condicional és zero
4. Hi ha homocedasticidad
5. No existix correlació entre els destorbament
6. La covarianza entre $u_i$ i $x_i$ és zero
7. El número d'observacions és major que el de paràmetros
8. Existix variabilitat entre els $x$
9. No hi ha multicolinealidad perfecta
10. Les $x$ són no estocàstiques, és dir, són fixes en mostres repetides.