Teorema de Bézout

Número de punts d'intersecció entre dos curves algebraiques proyectivas, el quadrifolium (blau) de l'equació $(x^2+y^2{)}^3-4x^2{y}^2{z}^2=0$ de grau 6, i el trifolium (en roig) d'equació$(x^2+y^2{)}^2+(3x^{2}y-y^3)z=0$ de grau 4. Hi ha 24 punts d'intersecció, a saber: una intersecció en (0,0,1) (en el centre de la figura) de multiplicitat 14, atres quatre interseccions visibles en la figura en punts simples, pero també hi ha dos punts d'intersecció triples en l'infinit en coordenades complexes, (1, i, 0) i (1, -i,0).

La teorema de Bezout, atribuït a Étienne Bézout afirma que dos curves algebraiques proyectivas planes $C,D$ de graus $m,n$ definides sobre un cos algebraicamente tancat $k$ i sense component irreductible comú, tenen exactament mn punts d'intersecció contats en la seua multiplicitat.

La forma dèbil de la teorema diu que el número d'interseccions (sense tindre en conte les multiplicitat) està acotat per $mn$. És dir, si $F,G$ són dos polinomis homogéneus en coeficients en $k$ (en $C=V_{+}(F)$ i $D=V_{+}(G)$) de graus respectius $m,n$ i sense cap factor comú, llavors el sistema

$F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0$

admet a lo més $mn$ solucions en el pla proyectivo $P^2(k)$.

Història

El principi de que una curva en grau n es interseca en una de grau m en nm punts va ser supost verdadera per varis matemàtics. El primer en haver-ho enunciat sembla haver segut Isaac Newton en 1665 en The geometrical construction of equations.

En la geometria de Descartes, el càlcul de la tangente d'una curva o, equivalentemente, de la recta normal en un punt, es fa per mig de la busca de la circumferència osculatriz en eixe punt. El método descrit per Descartes consistix en escriure l'equació dels círculs que passen pel punt de la curva i en buscar el dels círculs que no tenen més que un punt d'intersecció únic en la curva.

Des del començ del sigle XVIII, l'investigació del número de punts d'intersecció de dos curves planes d'equacions cartesianas implícites $P(x,y)=0$, $Q(x,y)=0$ a on P, Q són dos polinomis de graus respectius m, n es fa pel método d'eliminació d'una de les dos variables.

Des de 1720 Maclaurin conjeturó que «en général, li nomene de points d'intersection est égal à $m\times n$». Léonard Euler va examinar la qüestió en alguns casos particulars, pero no va conseguir fer entrar el cas de raïls múltiples en una demostració general. Étienne Bézout va ser el primer en demostrar (1764) l'enunciat en el cao a on només hi ha raïls simples.

Els matemàtics que varen fracassar va ser pel problema de no trobar un método per a contar "punts en l'infinit" (recorde's que la teorema és vàlida en el pla proyectivo, no en el pla euclídeo).

Un correcte enunciat de la teorema de Bezout, en una prova rigorosa, no es troba fins a passat la mitat del sigle XIX. Aparentment, el primer que va trobar una bona manera de contar raïls en multiplicitat va ser Halphen en 1873.

Enunciat

Si C i D són curves algebraiques i $P\in C\cap D$, el número d'intersecció entre C i D en P és intuitivamente la cantitat de derivades en les que coincidixen abdós curves en eixe punt. Per eixemple, si les tangentes de C i D en P no coincidixen llavors $I_P(C,D)=1$, si les tangentes coincidixen llavors $I_P(C,D)\ge 2$.

Diem que dos curves C i D no tenen factors en comú si el màxim comú divisor entre els polinomis que definixen a les curves és 1.

Teorema: Si C i D són curves de grau m i n sense factors en comú llavors $\sum _{P\in C\cap D}{I}_P(C,D)=m\cdot n.$ 

Els punts de l'intersecció són en el pla proyectivo.

Referències

(2010) Mathematics and his history, 3 edició, Springer.