Teorema d'unicitat del potencial

La teorema d'unicitat del potencial és una teorema de l'electrostàtica que ampra propietats de la solució de l'equació de Laplace. És l'aplicació directa del problema de Dirichlet a l'electrostàtica.

Enunciat de la teorema

El potencial que complix l'equació de Poisson en una certa regió R en unes certes condicions de contorn donades en la seua superfície S és únic. O lo que és lo mateix, daus $V_1$ i $V_2$ definits en R que complixen:

${\mathrm{\nabla }}^2{V}_1=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}{V}_1{|}_S=f$

${\mathrm{\nabla }}^2{V}_2=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}{V}_2{|}_S=f$

implica que:

$V_1=V_2\mathrm{\forall }𝐫\in R$

Demostració

Siga $V_1$ i $V_2$ solucions de l'equació de Poisson en una certa regió R:

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

complint les condicions de contorn

$V_1{|}_S=V_2{|}_S=f$

sent S la superfície que delimita dit volum.

Prenent $V_1=V_2+\chi$ per les condicions anteriors ha de complir-se que:

${\mathrm{\nabla }}^2{V}_1={\mathrm{\nabla }}^2{V}_2={\mathrm{\nabla }}^2{V}_1+{\mathrm{\nabla }}^2\chi \Rightarrow {\mathrm{\nabla }}^2\chi =0\mathrm{\forall }𝐫\in R$

$V_1{|}_S=V_2{|}_S=V_1{|}_S+\chi {|}_S=f\Rightarrow \chi {|}_S=0$

Ya que $\chi$ complix l'equació de Laplace, no posseïx màxims ni mínims locals, el valor màxim i mínim s'alcança en la frontera ($\chi {|}_S=0$) de modo que concloem

$\chi =0\mathrm{\forall }𝐫\in R$

o lo que és lo mateix:

$V_1=V_2\mathrm{\forall }𝐫\in R$

Vore també

• Problema de Dirichlet
• Equació de Laplace
• Equació de Poisson

Bibliografia utilisada

• Introduction to electrodynamics, David J. Griffiths.