Temps local (matemàtica)

Archiu:Local times surface.png

Una mostra de la ruta d'un procés Itō junt en la seua superfície de temps locals.

En la teoria matemàtica dels processos estocàstics, el temps local és un procés estocàstic associat en processos de difusió tals com el moviment browniano, que caracterisa el temps que passa una partícula en un nivell específic. El temps local és molt útil i sol aparéixer en diverses fòrmules d'integració estocàstica si el integrant no és suficientment regular, com en el cas de la fòrmula de Tanaka.

Definició formal

Matemàticament, la definició de temps local és

$\ell (t,x)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\delta (x-b(s))ds$

a on b(s) és el procés de difusió i δ és la delta de Dirac. És un concepte inventat per Paul Pierre Lévy. L'idea bàsica és que ℓ(t, x) és una medició (reajustada) de quant temps ha passat b(s) en x fins al temps t. La qual cosa pot expressar-se com seguix:

$\ell (t,x)=\underset{\epsilon \downarrow 0}{\lim }\frac{1}{2\epsilon }\underset{0}{\overset{t}{\int }}1\{x-\epsilon <b(s)<x+\epsilon \}ds,$

a on es comprén per qué es denomina temps local de b en x.