Successió alícuota

En Matemàtica, una successió alícuota és una successió recursiva en la que cada terme és la suma dels divisores propis del terme anterior. La successió alícuota que comença en el sancer positiu k pot ser definida formalment per mig de la funció divisor σ₁ de la següent manera:

s₀ = k

s_n = σ₁(s_n−1) − s_n−1.

Per eixemple, la successió alícuota de 10 és 10, 8, 7, 1, 0 perque:

σ₁(10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8

σ₁(8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7

σ₁(7) − 7 = 1

σ₁(1) − 1 = 0

Moltes successions alícuotas terminen en zero Plantilla:OEIS; totes les successions d'eixe tipo necessàriament terminen en un número primo seguit per 1 (ya que l'únic divisor propi d'un cosí és 1), seguit per 0 (ya que 1 no té divisores propis). Hi ha vàries maneres en les quals una successió alícuota pugues no terminar:

• Un número perfecte (Plantilla:OEIS2C) té una successió alícuota periòdica infinita de periodo 1. La successió alícuota de 6, per eixemple, és 6, 6, 6, 6, ....
• Un número amigable (Plantilla:OEIS2C) té una successió alícuota infinita de periodo 2. Per eixemple, la successió alícuota de 220 és 220, 284, 220, 284, ....
• Un número sociable té una successió alícuota infinita de periodo major o igual a 3 (a voltes, el terme número sociable s'aplica també als número amigable). Per eixemple, la successió alícuota de 1264460 és 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ....
• Alguns números tenen una successió alícuota que termina en una successió periòdica, pero el número inicial no és perfecte, amigable, ni sociable. Com a eixemple, la successió alícuota de 95 és 95, 25, 6, 6, 6, 6, .... Números com 95 que no són perfectes, pero tenen una successió alícuota periòdica de periodo 1 són cridats números aspirants (Plantilla:OEIS2C).

Una important conjectura enunciada per Catalan respecte a les successions alícuotas és que cada successió alícuota termina en una de les tres formes descrites dalt — en un número primo, un número perfecte, o un conjunt d'número amigable o sociables. L'alternativa seria que existixca un número la successió del qual alícuota fora infinita, pero aperiódica. Hi ha varis números les successions dels quals alícuotas no han segut totalment determinades (any 2006), per lo que podrien existir tals números. Els primers cinc números candidat són cridats els cinc de Lehmer: 276, 552, 564, 660, and 966.

Fins a la data (agost de 2009), hi ha 906 sancers positius menors que 100000 les successions dels quals alícuotas no han segut completament determinades, i 9393 si s'inclouen tots els sancers positius menors que 1000000.

Bibliografia

• Manuel Benito; Wolfgang Creyaufmüller; Juan Luis Varona; Paul Zimmermann. Aliquot Sequence 3630 Ends After Reaching 100 Digits. Experimental Mathematics, vol. 11, num. 2, Natick, MA (2002): 201-206 (en anglés)
• W. Creyaufmüller. Primzahlfamilien - Dones Catalan'sche Problem und die Familien der Primzahlen im Bereich 1 bis 3000 im Detail. Stuttgart 2000 (3rd ed.), 327p.