Sifrat afí

El sifrat afí és un tipo de sifrat per substitució en el que cada símbol del alfabet en clar (l'alfabet del text en clar) és substituït per un símbol del alfabet sifrat (l'alfabet del text sifrat) sent el número de símbols de l'alfabet en clar igual que el número de símbols de l'alfabet sifrat. Per a trobar el símbol de l'alfabet sifrat que substituïx a un determinat símbol de l'alfabet en clar, s'usa una funció matemàtica afí en aritmètica modular. Per a poder aplicar la funció matemàtica lo primer que cal fer és assignar un orde que a cada símbol de cada u dels alfabet li associe un número d'orde. Una volta establit açò, la fòrmula matemàtica té la següent forma:

$c_i=(a*m_i+b)modn$

A on:

$c_i$: Identifica el símbol $i$ del text sifrat.

$a$: Li la crida constant de decimación.

$m_i$: Identifica el símbol $i$ del text en clar.

$b$: Li la crida constant de desplaçament.

$n$: És el número de símbols de l'alfabet de sifrat (l'orde).

Els valors numèrics de $c_i$ i $m_i$ per a traduir-los a símbols d'alfabets, s'interpreten com la posició del símbol en l'orde elegit de cada alfabet.

Sobre els valors de les constants podem dir:

• $0\le b\le n$, ya que per a la substitució definida per a qualsevol atre valor des pot trobar un $b$ la substitució del qual és equivalent.
• Per a que es definixca una substitució utilisable és necessari que $a\ne 0$. Ademés podem acotar a que $a\ge 1$, ya que la substitució definida en valors de $a$ negatius es poden obtindre en el mateix valor de $a$ pero sense el signe.
• Per les propietats de l'aritmètica modular, per a que este tipo de sifrat siga operatiu és necessari que $a$ i $n$ siguen coprimos (o cosins relatius). Esta condició és necessària per a que $a$ tinga invers de la multiplicació ($a^{-1}$) la qual cosa és necessari per a poder dessifrar. Ademés, es pot demostrar que siga $m\ge 1$ i siga $f:{𝒩}_m->{𝒩}_m$, definida en $f(x)=(ax+b)modm$, en $a$ i $b$ sancers, $f$ és una biyección, si, i solament si $mcd(a,m)=1$.

Per eixemple, podem modelizar el sifrat César, suponent l'orde natural de l'alfabet de $n$ símbols, per la següent equació:

$c_i=(m_i+3)modn$

En este sifrat, la clau ve definida pels valors sancers $a$ i $b$, i per l'orde usat en l'alfabet de sifrat i en l'alfabet en clar, abdós alfabets són el mateix número de símbols, $m$. Per tant és un sifrat de clau simètrica.

Per a dessifrar caldrà realisar el procés invers que es pot descriure en la funció matemàtica:

$D(x)=(a^{-1}(x-b))modm$

a on $a^{-1}$ representa al invers multiplicativo en aritmètica modular (el menor número que $(a*a^{-1})modm=1$).

Este tipo de sifrat s'ha generalisat per al seu us com cifrador de bloc en els cridats cifradores afínes per blocs.

Classificació

Podem classificar els cifradores afins segons els valors de $a$ i $b$:

• Si $a=1$ es diu que el sifrat és per desplaçament pur. En això la funció matemàtica queda $c_i=(m_i+b)modn$. Per tant per a dessifrar tenim que realisar l'operació $m_i=(c_i-b)modn$ a on $-b$ és el invers de l'adició en el conjunt dels sancers $modn$. Per eixemple si $b=15$ i $n=27$ llavors $-b=12$ ya que es té que complir $b+-bmodn=0$.

Observar que si $a=1$ i $b=0$ i l'alfabet en clar i l'alfabet sifrat són iguals i en el mateix orde definit, llavors cada símbol se substituirà per sí mateix i per tant no haurà sifrat.

• Si $b=0$ es diu que el sifrat és per decimación pura. En això la funció matemàtica queda $c_i=(a*m_i)modn$. Per tant per a dessifrar tenim que realisar l'operació $m_i=(a^{-1}*c_i)modn$ a on $a^{-1}$ és el invers de la multiplicació en el conjunt dels sancers $modn$.

• Si $a\ne 1$ i $b\ne 0$ es diu que el sifrat és per substitució afí. Per tant en la funció matemàtica $c_i=(a*m_i+b)modn$ en rebujar per a poder dessifrar obtenim:$m_i=(a^{-1}*(c_i-b))modn=(a^{-1}*(c_i+n-b))modn$ l'última igualtat aplicant propietat elemental d'aritmètica modular.

Eixemple

Supongam que $a=5$ i $b=15$ i usem l'alfabet castellà en $m=27$ en l'orde habitual com a alfabet en clar i com a alfabet sifrat. Usant el sifrat afí definit d'eixa forma el símbol '$a$' es convertirà en $(5*1+15)mod27=20$, per tant, el caràcter associat serà el que ocupa la posició 20 escomençant des de 0, la '$s$'. Aplicant el mateix algoritme podem obtindre que el text sifrat de 'plantanuclear' és 'ntsdlspctmsb'.

Per a dessifrar apliquem la fòrmula de dessifrat. Per a $a=5(modm=27)$ l'invers multiplicativo en aritmètica modular és $a^{-1}=11$. Per tant per a $s=20$tenim $(11*(20-15))mod27=1$. El caràcter que ocupa la posició 1 de l'alfabet és la '$a$'.

Referències

• Jorge Ramió Aguirre, Aplicacions criptográficas. Llibre guia de l'assignatura de Seguritat Informàtica. Universitat Politècnica de Madrit. Giner 1998.