Seqüències complementàries

Les seqüències complementàries són conjunts de seqüències discretes utilisades àmpliament en les més diverses àrees de l'ingenieria: telecomunicacions, robòtica, ensajos no destructius de materials (NDT), etc. Les seues particulars propietats matemàtiques les fan molt atractives per a totes aquelles aplicacions a on siga necessari recuperar una certa informació digital continguda en una senyal afectada pel soroll, atenuació del canal, interferència d'atres fonts, etc. Les seues propietats d'ortogonalidad també les fan interessants per a aplicacions a on vàries fonts emissores utilisen el mateix canal físic en forma simultànea (sistemes de multiemisión).

Parells de seqüències complementàries (seqüències de Golay)

La definició concreta dels parells de seqüències complementàries l'establix M.J.E. Golay (Golay, 1961) relacionant la cantitat de parells d'elements iguals i desiguals en cada seqüència del parell. No obstant, la propietat bàsica que les fa tan particulars es pot expressar per mig de la funció de autocorrelación (AC).

Sean dos seqüències, $a_n[k]$ i $b_n[k]$, compostes per $L$ elements {-1;+1}, a on $L$ és una potència de 2 $(L=2^n)$. Les respectives autocorrelaciones de les seqüències $a_n[k]$ i $b_n[k]$ són:

$C_{aa}[i]=\sum _{k=1}^L{a}_n[k]a_n[k+i]$

$C_{bb}[i]=\sum _{k=1}^L{b}_n[k]b_n[k+i]$

La suma de les autocorrelaciones és una delta de Kronecker d'amplitut $2L$:

$C_{aa}[i]+C_{bb}[i]=2L\delta [i]$

L'absència de lòbuls laterals de autocorrelación és una característica única que no és compartida per atres còdics o seqüències binarias, tals com els còdics Barker, les seqüències pseudoaleatorias, les seqüències de Gold, i un llarc etcétera.

Adicionalment, els parells de seqüències complementàries tenen una atra propietat interessant, que és la ortogonalidad. Donat un parell de seqüències complementàries, $a_n[k]$ i $b_n[k]$, existix un atre parell, $c_n[k]$ i $d_n[k]$, tal que la suma de les correlació creuades és completament nula:

$C_{ac}[i]=\sum _{k=1}^L{a}_n[k]c_n[k+i]$

$C_{bd}[i]=\sum _{k=1}^L{b}_n[k]d_n[k+i]$

$C_{ac}[i]+C_{bd}[i]=0$

Conjunts de seqüències complementàries

Els conjunts de seqüències complementàries són una generalisació dels parells de seqüències complementàries o seqüències Golay. Varen ser estudiats per volta primera per C.-C. Tseng i C.L. Liu (Tseng & Liu, 1972), i posteriorment ampliats per R. Sivaswamy (Sivaswamy, 1978) i R. Frank (Frank, 1980).

Sean M seqüències, $S_i[k]$, compostes per L elements {-1;+1}, a on M és potència de 2 i L és potència de M $(L=M^n;M=2^m)$. Les respectives autocorrelaciones de les seqüències del conjunt són:

$C_{S_1}[i]=\sum _{k=1}^L{S}_1[k]S_1[k+i]$

$C_{S_2}[i]=\sum _{k=1}^L{S}_2[k]S_2[k+i]$

$\mathrm{...}$

$C_{S_M}[i]=\sum _{k=1}^L{S}_M[k]S_M[k+i]$

La suma de les autocorrelaciones és una delta de Kronecker d'amplitut $ML$:

$C_{S_1}[i]+C_{S_2}[i]+\mathrm{...}+C_{S_M}[i]=ML\delta [i]$

En el treball de Tseng i Liu (Tseng & Liu, 1972) es demostra que hi ha conjunts de seqüències complementàries tals que la suma de les correlació creuades entre les seqüències que els componen és nula. Donat un conjunt complementari compost per M seqüències, existixen M conjunts mútuament ortogonals de M seqüències de llongitut $L=M^n$. Siga un conjunt complementari compost per M seqüències de llongitut L, generat en una llavor $w_1$:

$X_{w_1,M,n}$

Siga un atre conjunt complementari compost per M seqüències de llongitut $L$, generat en una llavor $w_2$:

$X_{w_2,M,n}$

Abdós conjunts són ortogonals si es complix que:

$C_{S_1}[i]+C_{S_2}[i]+\mathrm{...}+C_{S_M}[i]=ML\delta [i]$

$\sum _{q=1}^M\sum _{k=1}^L{X}_{w_1,q,n}[k]X_{w_2,q,n}[k+i]=0$

Açò és, la suma de les correlació creuades entre les seqüències d'abdós conjunts és completament nula.

Referències

• Budisin, S.Z.IEE Electronics Letters.27

219–220.

• Frank, R.L.IEEE Transactions on Information Theory.IT-26

641–647.

• Golay, M.J.E.IRE Trans. Inform. Theory.IT-7

82–87.

• Sivaswamy, R.IEEE Transactions on Information Theory.IT-24

546-552.

• Tseng, C.-C and Liu, C.L.IEEE Trans. on Information Theory.IT-18

644-652.

• White, J.D.H. and Challis, R.E.IEE Colloquium on Senar-Contacting and Remote NDT.

7/1-7/7.