Representació de números en signe

En matemàtiques, els números negatius en qualsevol base es representen del modo habitual, precedint-los en un signe «−». No obstant, en una computadora hi ha vàries formes de representar el signe d'un número. Este artícul tracta quatre métodos d'estendre el sistema binario per a representar números en signe: signe i magnitut, complement a un, complement a dos i excés K, a on normalment K equival a b^n-1 - 1.

Per a la majoria d'usos, les computadores modernes utilisen típicament la representació en complement a dos, encara que poden usar-se unes atres en algunes circumstàncies.

En les seccions següents nos referirem exclusivament al cas de números signados en binario (i contrastarem en el decimal en fins didàctics). Açò no significa que lo mostrat ací es puga dur en forma anàloga a atres bases (hexadecimal, o octal, per eixemple). El valor absolut d'un número és la distància que ho separa del zero en la recta numèrica; és el propi número despuix de prescindir del seu signe. El valor absolut s'escriu entre barres: | |. Valor absolut de 3:|3| =3. El valor absolut de -3: |-3| =3. Els números menors que zero són per supost els números negatius.

El número que té com a valor absolut 125 i és menor que zero és -125 perque el valor absolut solament pren en conte la distància, no la direcció, raó per la qual este sol pot ser positiu o zero. |+ Per a n = 8 (8 bits) en Signe i Magnitut

Un primer enfocament al problema de representar un número signado de n-bits consistix en assignar:

1. un bit per a representar el signe. Eixe bit a sovint és el bit més significatiu o MSB (de les seues sigles en anglés) i, per convenció: un 0 denota un número positiu, i un 1 denota un número negatiu;
2. els (n-1)-bits restants per a representar el significant que és la magnitut del número en valor absolut.

I es coneix com a Signe i Magnitut.

Este enfocament és directament comparable a la forma habitual de mostrar el signe (colocant "+" o "-" al costat de la magnitut del número). Algunes de les primeres computadores binarias (l'IBM 7090) varen utilisar esta representació, potser per la seua relació òbvia en la pràctica habitual.

El format Signe i Magnitut és ademés l'habitual per a la representació del significant en números en punt flotant.

Complement a la base menys un

Artícul principal → Complement a un.

Per a n = 8 (8 bits) en Complement a un

Valors de 8 bits	Interpretat en Complement a un en decimal	Interpretat com a Sancer sense signe en decimal
00000000	0	0
00000001	1	1
00000010	2	2
...	...	...
01111110	126	126
01111111	127	127
10000000	−127	128
10000001	−126	129
10000010	−125	130
...	...	...
11111101	−2	253
11111110	−1	254
11111111	−0	255

Un atre enfocament seria representar números negatius usant el complement a la base menys un. En el cas dels número binario, seria el complement a un i la forma del complement a un d'un número binario és un NOT bit a bit aplicat al número, és dir, l'inversió d'uns per zeros i zeros per uns. D'esta forma, en la representació per Complement a un d'un número signado de n-bits assignem:

1. un bit per a representar el signe. Eixe bit a sovint és el bit més significatiu i, per convenció: un 0 denota un número positiu, i un 1 denota un número negatiu;
2. els (n-1)-bits restants per a representar el significant que és la magnitut del número en valor absolut per al cas de números positius, o be, en el complement a un del valor absolut del número, en cas de ser negatiu.

Observar aixina que la representació en Complement a un d'un número negatiu es pot obtindre de la representació en Signe i Magnitut per una mera inversió d'uns per zeros i zeros per uns del significant.

Este sistema numèric de representació era comuna en computadores més antigues; el PDP-1 i la série de UNIVAC 1100/2200, entre moltes unes atres, varen utilisar l'aritmètica en complement a un.

Eixemple de complement a un

Siga una representació en format de Complement a un que nos permet codificar en binario en punt fix en 8 bits (un byte). De la mateixa manera que en la representació en Signe i Magnitut, açò nos otorga 1 bit per al signe i 7 bits per a la magnitut. En 8 bits, podem representar, en teoria a lo manco (vore novament Desventages, més avall), 2⁸ = 256 números. Els quals, segons este format, van a estar repartits entre 128 números positius (bit de signe en 0) i 128 números negatius (bit de signe en 1).

Supongam ara, que tenim que representar el número -97₁₀. Procedim a:

1. Prendre nota del signe del número -97₁₀, que sent negatiu, durà com a bit de signe un 1;
2. Com el signe és negatiu, el número a continuació del bit de signe, deurà expressar-se en complement a un. En realisar la conversió: el valor absolut de -97₁₀ és |-97₁₀| = 97₁₀. Que en binario és: 1100001₂, i el complement a un de 1100001₂ és C1(1100001) = 0011110₂;
3. Colocar tot junt, el número -97₁₀ en binario en format de Complement a un és: 10011110₂. A on el 1 en el bit més significatiu indica un número negatiu, i 0011110₂ és el significant en complement a un del valor absolut del número.

Per al cas invers, donat un número binario en Complement a un, per eixemple, 10110101₂, procedim a:

1. Analisar el bit més significatiu, que sent un 1 indica que el número és negatiu;
2. Convertir el significant a la base desijada, per eixemple, en decimal, prenent en conte que: el valor obtingut està en valor absolut, que la magnitut real estarà donada pel bit de signe obtingut abans, i que en cas de ser bit de signe negatiu (com és el cas) es deurà obtindre el complement a un: C1(0110101) = 1001010₂ = |74₁₀|. Sent que el bit de signe és 1, l'número real és -74₁₀. Si el bit de signe anara 0, el número haguera segut 0110101₂ = +53₁₀ ('sense complementar a un).

Desventages de la representació en Complement a un

Seguint en l'eixemple de n = 8 (8 bits).

• Posseïx doble representació del zero. En representar en Complement a un, apareix novament el zero signado: 00000000₂ (+0₁₀) i 11111111₂ (-0₁₀).

Ventages de la representació en Complement a un

Seguint en l'eixemple de n = 8 (8 bits).

• Posseïx un ranc simètric: els números van de el +127₁₀ = 01111111₂, passant per el +0₁₀ = 00000000₂ i el -0₁₀ = 11111111₂, fins al -127₁₀ = 10000000₂. I en forma general, per a n-bits, el ranc (en decimal) per a Complement a un és (-(2^n-1-1); 2^n-1-1), o ben ± (2^n-1-1).
• Permet operar aritméticament. NOTA: en operar es deu sumar el carrege obtingut al final de l'adició/resta realisades (conegut com end-around carry), en cas d'haver-ho obtingut, per a conseguir el resultat correcte. Per eixemple: 00010101₂ + 10011110₂ = 10110011₂ (+21₁₀ + -97₁₀ = -76₁₀) posat que el end-around carry és zero; pero, 00000010₂ + 11111110₂ = 100000000₂ (+2₁₀ + -1₁₀ = -0₁₀ ≠ +1₁₀), que corregim per mig de 00000010₂ + 11111110₂ = 00000000₂ + 1₂ = 00000001₂, que és el resultat correcte.

Els protocols d'Internet IPv4, ICMP, UDP i TCP usen tots el mateix algoritme de sumixca de verificació de 16 bits en complement a un. Encara que la majoria de la computadores carixen de l'hardware per a manejar carrege de l'últim bit (end-around carry), la complexitat adicional és acceptada ya que és igualment sensible a errors en totes les posicions de bits. En UDP, una representació de tots zeros indica que la suma de verificació opcional ha segut omesa. L'atra representació, tots uns, indica un valor 0 en la suma de verificació (les sumes de verificació són obligatòries per a IPv4, TCP i ICMP; varen ser omeses en IPv6).

Complement a dos (o a la base)

Artícul principal → Complement a dos.

Per a n = 8 (8 bits) en Complement a dos

Valors de 8 bits	Interpretat en Complement a dos en decimal	Interpretat com a Sancer sense signe en decimal
00000000	0	0
00000001	1	1
00000010	2	2
...	...	...
01111110	126	126
01111111	127	127
10000000	−128	128
10000001	−127	129
10000010	−126	130
...	...	...
11111101	−3	253
11111110	−2	254
11111111	−1	255

Un atre enfocament seria representar números negatius usant el complement a la base. En el cas dels número binario, seria el complement a dos i la forma d'obtindre el complement a dos d'un número binario és per mig de l'obtenció del complement a un i sumar-li un, o be:

	Eixemple 1	Eixemple 2
1. Escomençant des de la dreta trobem el primer '1'	0101001	0101100
2. Fem un NOT a tots els bits que queden per l'esquerra	1010111	1010100

D'esta forma, en la representació per Complement a dos d'un número signado de n-bits assignem:

1. un bit per a representar el signe. Eixe bit a sovint és el bit més significatiu i, per convenció: un 0 denota un número positiu, i un 1 denota un número negatiu;
2. els (n-1)-bits restants per a representar el significant que és la magnitut del número en valor absolut per al cas de números positius, o be, en el complement a dos del valor absolut del número, en cas de ser negatiu.

Observar aixina que la representació en Complement a dos d'un número negatiu es pot obtindre de la representació en Signe i Magnitut per una mera inversió d'uns per zeros i zeros per uns del significant, i sumar-li un al valor obtingut.

Eixemple de complement a dos

Siga una representació en format de Complement a dos que nos permet codificar en binario en punt fix en 8 bits (un byte). De la mateixa manera que en la representació en Signe i Magnitut, i Complement a un, açò nos otorga 1 bit per al signe i 7 bits per a la magnitut. En 8 bits, podem representar, 2⁸ = 256 números. Els quals, segons este format, van a estar repartits entre 128 números positius (bit de signe en 0) i 128 números negatius (bit de signe en 1).

Supongam ara, que tenim que representar el número -97₁₀. Procedim a:

1. Prendre nota del signe del número -97₁₀, que sent negatiu, durà com a bit de signe un 1;
2. Com el signe és negatiu, el número a continuació del bit de signe, deurà expressar-se en complement a dos. En realisar la conversió: el valor absolut de -97₁₀ és |-97₁₀| = 97₁₀. Que en binario és: 1100001₂, i el complement a un de 1100001₂ és C1(1100001) = 0011110₂, li vàrem sumar un per a obtindre el complement a dos: 0011110₂ + 0000001₂ = 0011111₂;

• Colocar tot junt, el número -97₁₀ en binario en format de Complement a dos és: 10011111₂. A on el 1 en el bit més significatiu indica un número negatiu, i 0011111₂ és el significant en complement a dos del valor absolut del número.

Per al cas invers, donat un número binario en Complement a dos, per eixemple, 10110101₂, procedim a:

1. Analisar el bit més significatiu, que sent un 1 indica que el número és negatiu;
2. Convertir el significant a la base desijada, per eixemple, en decimal, prenent en conte que: el valor obtingut està en valor absolut, que la magnitut real estarà donada pel bit de signe obtingut abans, i que en cas de ser bit de signe negatiu (com és el cas) es deurà obtindre el complement a dos: C2(0110101) = C1(0110101) + 0000001₂, després C1(0110101) = 1001010₂, i en sumar-li 1, 1001011₂ = |75₁₀|. Sent que el bit de signe és 1, l'número real és -75₁₀. Si el bit de signe anara 0, el número haguera segut 0110101₂ = +53₁₀ (sense complementar a dos).

Desventages de la representació en Complement a dos

Seguint en l'eixemple de n = 8 (8 bits).

• Posseïx un ranc asimètric: els números van de el +127₁₀ = 01111111₂, passant per el +0₁₀ = 00000000₂. I ací apareix la primera diferència, el 11111111₂, ya no és -0₁₀ com en la representació anterior, sino que és -1₁₀, i en aplegar al 10000000₂ nos trobem en que el complement a dos de 10000000₂ és 10000000₂, ¡el mateix número!. Per convenció, s'assigna a este número particular el valor -128₁₀ (per a 8 bits). Després, en forma general, per a n-bits, el ranc (en decimal) per a Complement a dos és (-2^n-1; 2^n-1-1).

Ventages de la representació en complement a dos

Seguint en l'eixemple de n = 8 (8 bits).

• No posseïx doble representació del zero.
• Permet operar aritméticament.

eixemples 1.Convertir els següents número decimal en octal i hexadecimal. https://i.ibb.co/vqX14jP/Image1.png 2.Convertir els següents número binario en decimal https://i.ibb.co/RSqyR2p/Image2.png 3.Convertir els següents números hexadecimals a decimal i binario https://i.ibb.co/YZ94XWQ/Image4.png

Per a n = 8 (8 bits) en Excés a 127

Valors de 8 bits	Interpretat en Excés a 127 en decimal	Interpretat com a Sancer sense signe en decimal
00000000	-127	0
00000001	-126	1
00000010	-125	2
...	...	...
01111110	-1	126
01111111	0	127
10000000	1	128
10000001	2	129
10000010	3	130
...	...	...
11111101	125	253
11111110	126	254
11111111	127	255

Un últim enfocament al problema de representar un número signado és l'excés a K, a on a cada número se li suma el mateix valor, i està en excés per dit valor. Este format és habitual per a la representació de l'exponent en números en punt flotant.

K no té un valor estandardisat, pero sol prendre's com 2^n-1 (que coincidix en el complement a dos en el bit més significatiu negat), o com 2^n-1-1 (com en el cas de la norma IEEE-754).

Eixemple d'Excés 2^n-1

Siga una representació en format d'Excés que nos permet codificar en binario en punt fix en 8 bits (un byte). Després, els números 8 bits seran representats en Excés a 2^8-1 = 128₁₀. En 8 bits, podem representar, 2⁸ = 256 números.

Supongam ara, que tenim que representar el número -97₁₀ (decimal). Procedim a:

1. Prendre el número -97₁₀ i sumar-li l'excés, en este cas 128₁₀, després -97₁₀ + 128₁₀ = 31₁₀;
2. Convertim a binario, en este cas. Després, 31₁₀ = 00011111₂.

Per al cas invers, donat un número binario en Excés 128₁₀, per eixemple, 10110101₂, procedim a:

1. Convertir el número a la base desijada, per eixemple, en decimal: 10110101₂ = 181₁₀;

1. Pero el valor obtingut està en excés 128, després devem llevar-li dit excés, restant 128: 181₁₀ - 128₁₀ = 53₁₀.

Desventages de la representació en Excés 2^n-1-1

Seguint en l'eixemple de n = 8 (8 bits).

• Requerix d'operacions aritmètiques intermiges per a la seua obtenció, i de canviar el número de bits es deuen actualisar dites operacions intermiges per a reflectir el nou excés.
• Posseïx ranc asimètric: est va des de +128₁₀ = 11111111₂ fins a -127₁₀ = 00000000₂. I en forma general, per a n-bits, el ranc (en decimal) per a Excés 2ⁿ és (-2^n-1+1; 2^n-1-1).

Ventages de la representació en Excés 2^n-1-1

Seguint en l'eixemple de n = 8 (8 bits).

• El menor número possible de representar consistix en tots els bits en zero i el major en uns.
• Permet operar aritméticament, pero cal tindre en conte que cada operació du associat el seu excés i açò cal restar-li-ho al resultat final, per a corregir la representació. Per eixemple, 00011110₂ + 10110101₂ = 11010011₂ (-97₁₀ + 54₁₀ = 211₁₀ ≠ -43₁₀). El resultat, en aparent excés 127₁₀, 211₁₀, en llevar-li dit excés és 211₁₀ - 127₁₀ = 84₁₀. Pero, cal tindre en conte que en sumar dos números en excés 127₁₀, devem restar, dos voltes l'excés. Després 84₁₀ - 127₁₀ = -43₁₀, que és el resultat correcte.
• No hi ha empaquetación del número. Per açò nos referim a que no cal recordar que parts del número són signe i significant, sino que els n-bits, són el número.

Taula de comparació

La taula següent compara la representació dels sancers entre 8 i -8 (inclosos) usant 4 bits.

Representació de sancers de 4 bits

Decimal	Sancer sense signe	Signe i Magnitut	Complement a un	Complement a dos	En excés a 7 |-	+8	1000	n/d	n/d	n/d	1111
+7	0111	0111	0111	0111	1110
+6	0110	0110	0110	0110	1101
+5	0101	0101	0101	0101	1100
+4	0100	0100	0100	0100	1011
+3	0011	0011	0011	0011	1010
+2	0010	0010	0010	0010	1001
+1	0001	0001	0001	0001	1000
+0	0000	0000	0000	0000	0111
-0	n/d	1000	1111	n/d	n/d
-1	n/d	1001	1110	1111	0110
-2	n/d	1010	1101	1110	0101
-3	n/d	1011	1100	1101	0100
-4	n/d	1100	1011	1100	0011
-5	n/d	1101	1010	1011	0010
-6	n/d	1110	1001	1010	0001
-7	n/d	1111	1000	1001	0000
-8	n/d	n/d	n/d	1000	n/d

Vore també

• Base negativa