Quadratura adaptativa

La quadratura adaptativa és un método d'integració numèrica en el que l'integració d'una funció $f(x)$ és aproximada utilisant regles de quadratura estàtiques en subintervalos adaptats de la regió d'integració. En general, els algoritmes adaptatius són tan eficients i efectius com els algoritmes tradicionals per a integrandos en bon comportament, pero també són efectius per a integrandos en mal comportament, per als que els algoritmes tradicionals poden fallar.

Esquema general

La quadratura adaptativa seguix el següent esquema general:

1. Procediment integrar ( f, a, b, τ )
2. $Q\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$
3. $\epsilon \approx |Q-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x|$
4. si ε > τ llavors
5. m = (a + b) / 2
6. Q = integrar(f, a, m, τ/2) + integrar(f, m, b, τ/2)
7. fi si
8. tornar Q

Es calcula una aproximació $Q$ a l'integral de $f(x)$ sobre l'interval $[a,b]$ (llínea 2), aixina com una estimació de l'error $\epsilon$ (llínea 3). Si l'error estimat és major que la tolerància requerida $\tau$ (llínea 4), l'interval es subdivide (llínea 5) i la quadratura s'aplica a abdós mitats per separat (llínea 6). Es torna l'estimació inicial o la suma de les mitats calculades recursivamente (llínea 7).

Els components importants són la regla de quadratura en sí mateixa:

$Q\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,$

l'estimador d'error

$\epsilon \approx |Q-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x|,$

i la llògica per a decidir qué interval subdividir i quàn finalisar.

Existixen diverses variants d'este esquema. La més comuna s'analisa més alvance.

Regles bàsiques

Les regles de quadratura generalment tenen la forma:

$Q_n=\sum _{i=0}^n{w}_{i}f(x_i)\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

a on els nodos $x_i$ i els pesos $w_i$ generalment es calculen prèviament.

En el cas més simple, s'utilisen fòrmules de Newton-Cotes de grau parell, a on els nodos $x_i$ estan espayats uniformemente en l'interval:

$x_i=a+\frac{b-a}{n}i.$

Quan s'utilisen estes regles, els punts a on s'ha evaluat $f(x)$ poden reutilisar-se en la recursión:

Erro al crear miniatura:

S'utilisa una estratègia similar en la quadratura de Clenshaw-Curtis, a on els nodos s'elegixen com:

$x_i=\cos \left(\frac{2i}{n}\pi \right).$

O be, quan s'utilisa la quadratura de Fejér:

$x_i=\cos \left(\frac{2(i+0.5)}{n+1}\pi \right).$

També es poden utilisar atres regles de quadratura, com la quadratura de Gauss o la quadratura de Gauss-Kronrod.

Un algoritme pot optar per utilisar diferents métodos de quadratura en distints subintervalos; per eixemple, utilisar un método d'orde superior solament a on l'integrant és suau.

Vore també

• Derivació numèrica
• Tamany de pas adaptatiu en EDO
• Método de Simpson adaptatiu per a un eixemple de quadratura adaptativa
• QUADPACK, una biblioteca FORTRAN que utilisa quadratura adaptativa global

Bibliografia

• “Algorithm 145: Adaptive numerical integration by Simpson's rule” . Communications of the ACM 5 (12): 604–605. New York: ACM. doi:10.1145/355580.369102. ISSN 0001-0782. OCLC 1011805770.
• John R. Rulle. Un metalgoritmo per a la quadratura adaptativa. Journal of the ACM 22(1) pp 61-82 (giner de 1975).

• «Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing».Cambridge University Press.