Fòrmules de Newton-Cotes

En anàlisis numèric les fòrmules de Newton-Cotes (nomenades aixina per Isaac Newton i Roger Cotes) són un grup de fòrmules d'integració numèrica de tipo interpolatorio, en les quals s'evalua la funció en punts equidistants, per a aixina trobar un valor aproximat de l'integral.

Este método és eficient si es coneixen els valors de la funció en punts igualment separats. Si es poden canviar els punts en els quals la funció és evaluada atres métodos com la quadratura de Gauss són provablement més eficients.

Introducció

Per a l'integració numèrica de $\int_{a}^{b} f (x) d x$ utilisant les fòrmules de Newton-Cotes es subdivide l'interval $[a, b]$ en $n$ intervals iguals. Aixina s'obtenen $n + 1$ punts a on s'evaluarà la funció:

a \leq x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} \leq b .

Si $a = x_{0}$ i $b = x_{n}$ es denominen fòrmules tancades de Newton-Cotes ya que els intervals dels extrems estan inclosos en l'integral, si pel contrari no es tenen en conte es denominen fòrmules obertes de Newton-Cotes. Per al càlcul s'utilisarà la següent funció:

p (x) = \sum_{k = 0}^{n} f (x_{k}) L_{n, k} (x)

a on:

L_{n, k} (x) = \prod_{i = 0, i \neq k}^{n} \frac{x - x_{i}}{x_{k} - x_{i}} = \frac{(x - x_{0}) \dots (x - x_{k - 1}) (x - x_{k + 1}) \dots (x - x_{n})}{(x_{k} - x_{0}) \dots (x_{k} - x_{k - 1}) (x_{k} - x_{k + 1}) \dots (x_{k} - x_{n})}

és el polinomi de Lagrange, per lo tant es deduïx que

\int_{a}^{b} p (x) d x = (b - a) \sum_{i = 0}^{n} f (x_{k}) \frac{1}{(b - a)} \int_{a}^{b} L_{n, k} (x) d x .

Esta funció s'expressa de la següent forma

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} p (x) d x = (b - a) \sum_{k = 0}^{n} w_{k} f (x_{k})

A on els "pesos" w_k estan definits per

w_{k} = \frac{1}{(b - a)} \int_{a}^{b} L_{n, k} (x) d x

Fòrmules tancades de Newton-Cotes

Estes són algunes de les fòrmules tancades de Newton-Cotes.

La notació $f_{i}$ és una abreviatura de $f (x_{i})$ , en $x_{i} = a + i h$ , $h = \frac{b - a}{n}$ i $n$ el grau.

Regla del trapezi

Artícul principal → regla del trapezi.

Erro al crear miniatura:

Ilustració de la regla del trapezi.

La regla del trapezi consistix en trobar l'integral aproximada d'una funció a través d'un polinomi de primer grau, és dir unint per mig d'una recta els punts en a on s'evaluara la funció.

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{h}{2} (f_{0} + f_{1})

I l'error és:

$- \frac{h^{3}}{12} f^{(2)} (ξ)$

Sent $ξ$ un número entre a i b.

Regla de Simpson

Artícul principal → regla de Simpson.

Erro al crear miniatura:

Ilustració de la regla de Simpson.

La regla de Simpson (nomenada aixina per Thomas Simpson) troba l'integral aproximada d'una funció per mig d'un polinomi de segon o tercer grau.

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 utilisa tres punts consecutius en a on s'evalua la funció a través d'un polinomi de segon grau.

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{h}{3} (f_{0} + 4 f_{1} + f_{2})

I l'error és:

- \frac{h^{5}}{90} f^{(4)} (ξ),

sent $ξ$ un número entre a i b.

Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 utilisa quatre punts consecutius en a on s'evalua la funció a través d'un polinomi de tercer grau.

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{3 h}{8} (f_{0} + 3 f_{1} + 3 f_{2} + f_{3})

.

I l'error és:

- \frac{3 h^{5}}{80} f^{(4)} (ξ),

Sent $ξ$ un número entre a i b.

Regla de Boole

La regla de Boole (cridada aixina per George Boole) utilisa cinc punts consecutius igualment separats per a calcular l'integral aproximada de la funció utilisant un polinomi de quart grau.

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{2 h}{45} (7 f_{0} + 32 f_{1} + 12 f_{2} + 32 f_{3} + 7 f_{4})

I l'error és:

$- \frac{8 h^{7}}{945} f^{(6)} (ξ)$

Sent $ξ$ un número entre a i b.

Regla de quint orde

La regla de quint orde utilisa sis punts consecutius igualment separats per a calcular l'integral aproximada de la funció utilisant un polinomi de quint grau.

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{5 h}{288} (19 f_{0} + 75 f_{1} + 50 f_{2} + 50 f_{3} + 75 f_{4} + 19 f_{5})

Regla de Sext orde

La regla de sext orde utilisa sèt punts consecutius igualment separats per a calcular l'integral aproximada de la funció utilisant un polinomi de sext grau.

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{h}{140} (41 f_{0} + 216 f_{1} + 27 f_{2} + 272 f_{3} + 27 f_{4} + 216 f_{5} + 41 f_{6})

Error per al n-ésimo orde

Si $f \in 𝒞^{n + 1} [a, b]$ per a una partició $a = x_{0} < ... < x_{n} = b$ , a on $h = \frac{x_{n} - x_{0}}{n}$ i $x_{k} = x_{0} + k h$ para tot $k \in {0, ..., n}$ i $n \in ℕ$ impar es complix que:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \sum_{k = 0}^{n} w_{k} f (x_{k}) + \frac{f^{n + 1} (ξ)}{(n + 1)!} \int_{x_{0}}^{x_{n}} π_{n + 1} (x) d x$

per a algun $ξ \in (x_{0}, x_{n})$ , a on $π_{n + 1} (x) = \prod_{k = 0}^{n} (x - x_{k})$ i $w_{k} = \int_{x_{0}}^{x_{n}} L_{n, k} (x) d x$ .

Per a realisar l'integral $\int_{x_{0}}^{x_{n}} π_{n + 1} (x) d x = \int_{x_{0}}^{x_{n}} (x - x_{0}) (x - x_{1}) ... (x - x_{n}) d x$ utilisant el fet de que $x_{k} = x_{0} + k h$ para tot $i \in {0, ..., n}$ , deu aplegar-se a l'integral de la forma:

$\int_{x_{0}}^{x_{n}} n (\frac{x - x_{0}}{n}) (n (\frac{x - x_{0}}{n}) - h) (n (\frac{x - x_{0}}{n}) - 2 h) ... (n (\frac{x - x_{0}}{n}) - n h) d x$

Després, substituïxca's $u = \frac{x - x_{0}}{n}$ per a obtindre

$\int_{0}^{h} n (n u) (n u - h) (n u - 2 h) ... (n u - n h) d u$ ,

despuix deu efectuar-se la substitució $y = n u$ la qual transforma l'integral en

$\int_{0}^{n h} y (y - h) (y - 2 h) ... (y - n h) d y$ .

De lo anterior, substituïxca's $t = \frac{y}{h}$ per a obtindre

$h^{n + 2} \int_{0}^{n} t (t - 1) (t - 2) ... (t - n) d t = h^{n + 2} \int_{0}^{n} (t)_{n} (t - n) d t$ ,

a on $(t)_{n}$ és el factorial descendent . Observe's que si $n = 2$ i $[2] = {1, 2}$ es té que $\prod_{l \in [2]} t (t - t_{l}) = t (t - t_{1}) (t - t_{2}) = t^{3} - (t_{1} + t_{2}) t^{2} + t_{1} t_{2}$ , i si $n = 3$ , obtenim per a $[3] = {1, 2, 3}$ $\prod_{l \in [3]} t (t - t_{l}) = t (t - t_{1}) (t - t_{2}) (t - t_{3}) = t^{4} - (t_{1} + t_{2} + t_{3}) t^{3} + (t_{1} t_{2} + t_{1} t_{3} + t_{2} t_{3}) t^{2} - t_{1} t_{2} t_{3}$ , els coeficients dels térmens del polinomi poden escriure's com:

$\sum_{X \in (\binom{[3]}{1})} \prod_{i \in X} t_{i} = \prod_{i \in {1}} t_{i} + \prod_{i \in {2}} t_{i} + \prod_{i \in {3}} t_{i} = t_{1} + t_{2} + t_{3}$

$\sum_{X \in (\binom{[3]}{2})} \prod_{i \in X} t_{i} = \prod_{i \in {1, 2}} t_{i} + \prod_{i \in {1, 3}} t_{i} + \prod_{i \in {2, 3}} t_{i} = t_{1} t_{2} + t_{1} t_{3} + t_{2} t_{3}$

$\sum_{X \in (\binom{[3]}{2})} \prod_{i \in X} t_{i} = \prod_{i \in {1, 2, 3}} t_{i} = t_{1} t_{2} t_{3}$

a on es definix $(\binom{X}{k}) = {Y \subseteq X : | X | = k}$ i $[n] = {1, 2, ..., n}$ per a algun $n \in ℕ$ . Per lo tant, per a qualsevol $l \in [n]$ es complix que

$\prod_{l \in [n]} t (t - t_{l}) = \sum_{l = 0}^{n} ((- 1)^{l} \sum_{X \in (\binom{[n]}{l})} \prod_{i \in X} t_{i}) t^{n - l + 1}$

Si prenem $t_{i} = i$ , es reescriu l'integral com

$h^{n + 2} \int_{0}^{n} (t)_{n} (t - n) d t = h^{n + 2} \int_{0}^{n} \prod_{k = 0}^{n} (t - k) d t = h^{n + 2} \sum_{k = 0}^{n} ((- 1)^{k} \sum_{X \in (\binom{[n]}{k})} \prod_{i \in X} i) \int_{0}^{n} t^{n - k + 1} d t$ ,

d'açò s'obté

$h^{n + 2} \sum_{k = 0}^{n} ((- 1)^{k} \sum_{X \in (\binom{[n]}{k})} \prod_{i \in X} i) \frac{n^{n - k + 2}}{n - k + 2} = h^{n + 2} \sum_{k = 0}^{n} ((- 1)^{k} [\binom{n + 1}{n - k + 1}]) \frac{n^{n - k + 2}}{n - k + 2}$

a on $[\binom{n}{k}]$ és el número de Stirling de primera espècie. Considerem que el número de Stirling de primera espècie en signe s'escriu com $s (n, k) = (- 1)^{n - k} [\binom{n}{k}]$ , de manera que si $(- 1)^{(n + 1) - (n - k + 1)} = (- 1)^{k}$ s'obté que

$h^{n + 2} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} [\binom{n + 1}{n - k + 1}] \frac{n^{n - k + 2}}{n - k + 2} = h^{n + 2} \sum_{k = 0}^{n} s (n + 1, n - k + 1) \frac{n^{n - k + 2}}{n - k + 2}$

aixina, per a $n \in ℕ$ impar la fòrmula de Newton-Cotes tancada queda

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \sum_{k = 0}^{n} w_{k} f (x_{k}) + (\sum_{k = 0}^{n} s (n + 1, n - k + 1) \frac{n^{n - k + 2}}{n - k + 2}) \frac{h^{n + 2} f^{n + 1} (ξ)}{(n + 1)!}$

Si $f \in 𝒞^{n + 2} [a, b]$ per a una partició $a = x_{0} < ... < x_{n} = b$ , a on $h = \frac{x_{n} - x_{0}}{n}$ i $x_{k} = x_{0} + k h$ para tot $k \in {0, ..., n}$ i $n \in ℕ$ parell es complix que:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \sum_{k = 0}^{n} w_{k} f (x_{k}) + \frac{f^{n + 2} (ξ)}{(n + 2)!} \int_{x_{0}}^{x_{n}} x π_{n + 1} (x) d x$

per a algun $ξ \in (x_{0}, x_{n})$ , procedint en un raonament anàlec al cas a on $n \in ℕ$ és impar, l'anterior expressió queda de la forma

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \sum_{k = 0}^{n} w_{k} f (x_{k}) + (\sum_{k = 0}^{n} s (n + 1, n - k + 1) \frac{n^{n - k + 3}}{n - k + 3}) \frac{h^{n + 3} f^{n + 2} (ξ)}{(n + 2)!}$ .

Referències

Programació i Métodos Numèrics: Integració Numèrica, Fòrmules de Newton-Cotes, Fòrmules de Gauss. Prof. Carlos Comte Lázaro Prof. Arturo Hidalgo López Prof. Alfredo López. Març de 2007. Departament de Matemàtica Aplicada i Métodos Informàtics – ETSIM - UPM

Este artícul conté una traducció derivada de «Fórmulas de Newton-Cotes» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.