Regla de Simpson

La funció f (x) (blava) és aproximada per una funció quadràtica P (x) (roig).

En anàlisis numèric, la regla o método de Simpson (nomenada aixina en honor de Thomas Simpson) i a voltes cridada regla de Kepler és un método d'integració numèrica que s'utilisa per a obtindre l'aproximació de l'integral:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)]$.

Introducció

En integració numèrica, una forma d'aproximar una integral definida en un interval [a,b] és per mig de la regla del trapezi, és dir, que sobre cada subintervalo en el que es dividix [a,b] s'aproxima f per un polinomi de primer grau, per a després calcular l'integral com sumixca de les àrees dels trapezis formats en eixos subintervalos . El método utilisat per a la regla de Simpson seguix la mateixa idea, pero aproximant els subintervalos de f per mig de polinomis de segon grau.

Deducció de la regla de Simpson

Considerem el polinomi interpolador d'orde dos $P_2(x)$, que aproxima a la funció integrant $f(x)$ entre els nodos x₀ = a, x₁ = b i m = (a+b)/2. L'expressió d'eixe polinomi interpolante, expressat a través de l'interpolació polinòmica de Lagrange és:

$P_2(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}.$

Aixina, l'integral buscada

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

és equivalent a

$I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{P}_2(x)dx+\text{término error}=\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(m)+f(b)]+E(f),$

a on I(f) és el terme d'error; per lo tant, es pot aproximar com:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6}[f(a)+4f(m)+f(b)].$

Vore també

• Regla del trapezi
• Fòrmules de Newton–Cotes