Problema de Hansen
El Problema de Hansen és un cas de resolució geomètrica que es presenta en topografia clàssica plana. Rep el seu nom de l'astrònom Peter Andreas Hansen (1795-1874), que va treballar en l'estudi geodèsic de Dinamarca.
Plantejament
[editar | editar còdic]Es tenen dos punts de coordenades conegudes A i B, i atres dos punts de coordenades desconegudes P1 i P2. Des de P1 i P2 un observador medix l'àngul format per les visuals a cada u dels atres tres punts. El problema és trobar les posicions de P1 i P2. D'acort en la figura, els ànguls medits són (α1, β1, α2, i β2).
ya que implica l'observació d'ànguls des de punts desconeguts, el problema és un eixemple de resección (diferent dels problemes d'intersecció).
Eixemple: este procediment permet valdre's de dos referències lluntanes, la distància de les quals entre sí es coneix (per eixemple, els campanars de dos iglésies, que serien els punts A i B), per a calcular les coordenades d'una parella qualsevol de punts observables entre sí P1 i P2 des dels que també es puguen observar les referències lluntanes.
Resum del método de resolució
[editar | editar còdic]Definir els següents ànguls: γ = P1AP2, δ = P1BP2, φ = P2AB, ψ = P1BA. Com a primer pas, es resol per a φ i ψ. La suma d'estos dos ànguls desconeguts és igual a la suma de β1 i β2, resultant l'equació
Una segona equació pot trobar-se de forma alguna cosa més laboriosa com seguix. La llei dels sens establix que
- i
Combinant les dos expressions, s'obté
En el mateix raonament en l'atre costat, es té que
Relacionant abdós expressions, s'obté
Per mig d'una coneguda identitat trigonométrica, este cocient de sens pot ser expressat com la tangente d'una diferència d'ànguls:
D'ací s'obté una segona equació. Una volta que es resol el sistema de dos equacions en dos incògnites i , es pot utilisar qualsevol de les dos expressions anteriors per a en determinar P1 i P2 degut a que es coneix la distància AB. Llavors és possible calcular tots els segments utilisant la llei dels sens.[1]
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Udo Hebisch: Ebene und Sphaerische Trigonometrie, Kapitel 1, Beispiel 4 (2005, 2006)[1]
- Archivat el 22 de febrer de 2016 archivat en Wayback Machine.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Problema de Hansen» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.