Principi de Millman

La teorema o principi de Millman (cridat aixina en honor a l'electrònic rus Jacob Millman) és utilisat per a obtindre directament la diferència de potencial entre els extrems d'un circuit elèctric. Resulta indicat quan es té només dos nodos, o lo que és lo mateix, vàries branques en paralel.

En concret, establix que:

En un circuit elèctric de branques en paralel, cada una composta per una font de tensió ideal en série en un element llineal, la tensió en els terminals de les branques és igual a la suma de les forces electromotrices multiplicades per l'admitancia de la branca dividit per la suma de les admitancias.

Jacob Millman

Archiu:Grafica1.png

Açò mateixa, formalment:

$V_{m} = \frac{\frac{F_{1}}{R_{1}} + \frac{F_{2}}{R_{2}} + \frac{F_{3}}{R_{3}} + ... + \frac{F_{n}}{R_{n}}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + ... + \frac{1}{R_{n}}} = \frac{\sum_{k = 1}^{N} F_{k} . G_{k}}{\sum_{k = 1}^{N} G_{k}} = \frac{\sum_{k = 1}^{N} \frac{F_{k}}{R_{k}}}{\sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{R_{k}}}$

A on F és la font de tensió o de corrent segons siga el cas i G, és la conductància.

Observació: Per a propòsits del càlcul, el valor de la font de tensió o de corrent és igual a zero en una branca que consistix en res més que una resistència.

Demostració del Principi de Millman

Considerant l'esquema del circuit que apareix en la figura:

Archiu:Theoreme de millman.png

Com les branques (Zk; Ek) estan en paralel, es treballa en les admitancias $Y_{k} = \frac{1}{Z_{k}}$ i les transformacions Thévenin -> Norton : $I N_{k} = E_{k} \cdot Y_{k}$ (convenció generador)

Per a cada branca (font de tensió i impedència), s'obté, a partir de la Llei de Ohm: $I_{k} = Y_{k} \cdot (V_{m} - E_{k})$

A continuació, a partir de la Llei de Kirchhoff, tenim:

$\sum_{k = 1}^{N} I_{k} = 0$

$\sum_{k = 1}^{N} Y_{k} \cdot (V_{m} - E_{k}) = 0$

I desenrollant...

$\sum_{k = 1}^{N} Y_{k} \cdot V_{m} = \sum_{k = 1}^{N} Y_{k} \cdot E_{k}$

$V_{m} = \frac{\sum_{k = 1}^{N} E_{k} \cdot Y_{k}}{\sum_{k = 1}^{N} Y_{k}} = \frac{\sum_{k = 1}^{N} \frac{E_{k}}{Z_{k}}}{\sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{Z_{k}}}$

Normes pràctiques per a aplicar Millman

Se senyalen dos nodos A i B, per eixemple la part superior i inferior.
S'assigna un sentit arbitrari a la tensió Vab, si el resultat final és positiu, la polaridad adoptada és certa, si és negatiu cal canviar la polaridad.
Es calculen les corrents parcials de cada una de les branques produïdes pels generadors de cada branca actuant independentment. Si una branca no té generadors, se supon la corrent d'eixa branca igual a zero.
Les corrents parcials que es dirigixen cap al nodo que s'ha considerat positiu es prenen en el signe +. Les corrents que s'allunten es consideren -.

Archiu:Millman ejemplo.jpg

Image referida en l'eixemple pràctic

La tensió total Vab ve donada per l'expressió general:

$V_{a b} = \frac{\sum I}{\sum \frac{1}{R}}$

(a on $\frac{1}{R}$ es coneix també com conductància)

Eixemple pràctic

$V_{A B} = \frac{- \frac{30 V}{10 Ω + 1 Ω} - \frac{50 V}{6 Ω + 4 Ω} + 0}{\frac{1}{10 Ω + 1 Ω} + \frac{1}{6 Ω + 4 Ω} + \frac{1}{8 Ω}} = - 24.46 V$

El signe - indica que la polaridad real de la tensió va de B(+) a A(-) per lo que VBA = 24.46V.

Este artícul conté una traducció derivada de «Principio de Millman» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.