Paradoxa dels dos condensadores

Circuit de la paradoxa, mostrant els voltages inicials ans que l'interruptor es tanque.

La paradoxa dels dos condensadores o paradoxa del condensador és una paradoxa o experiment mental, en anàlisis de circuits. L'experiment mental usualment es descriu de la següent manera: 2 condensadores idèntics estan conectats en paralel en un interruptor obert entre ells. Un dels condensadores està carregat en un voltage $V_i$, l'atre està descarregat. Quan l'interruptor es tanca, part de la càrrega $Q=C{V}_i$ del primer condensador fluïx cap al segon, reduint el voltage del primer i incrementant el voltage del segon. Quan s'alcança un estat estacionario i la corrent tendix a 0, el voltage en els dos condensadores deu ser igual ya que estan conectats junts. Com abdós tenen la mateixa capacitancia la càrrega serà dividida uniformement entre els condensadores, de manera que cada condensador tindrà una càrrega de $\frac{Q}{2}$ i un voltage de $V_f=\frac{Q}{2C}=\frac{V_i}{2}$.

Al començ de l'experiment l'energia inicial total en el circuit $W_i$ és l'energia almagasenada en el condensador carregat:$$W_i=\frac{1}{2}C{V}_i^2$$Al final de l'experiment l'energia final $W_f$ és igual a la suma de l'energia dels dos condensadores:

$$W_f=\frac{1}{2}C{V}_f^2+\frac{1}{2}C{V}_f^2=C{V}_f^2=C(\frac{V_i}{2}{)}^2=\frac{1}{4}C{V}_i^2=\frac{1}{2}{W}_i$$

Llavors l'energia final $W_f$ és igual a la mitat de l'energia inicial $W_i$ ¿A on va ser l'atra mitat de l'energia inicial?

Solucions

Este és un problema antic que ha segut discutit extensament en la lliteratura electrònica. A diferència d'atres paradoxes científiques, esta paradoxa no es deu a la física subjacent sino a les llimitacions de les convencions de el "circuit ideal" usades en anàlisis de circuits. La descripció del problema no és físicament realisable si s'assumix que el circuit està fet d'elements elèctrics ideals, com és usual en teoria de circuits. Si els cables que conecten els condensadores, l'interruptor i els condensadores són idealizados, com és usual, com si no tingueren resistència elèctrica o inductància llavors el tancament de l'interruptor conectaria punts en diferent voltage per mig d'un conductor perfecte, causant el fluix de corrent infinita. Llavors una solució requerix que es relaixe una o més característiques "ideals" dels elements del circuit, lo que no va ser especificat en la descripció del problema. La solució diferix depenent d'cual dels supòsits sobre les característiques dels elements del circuit es relaixe:

• Si s'assumix que els cables tenen inductància pero no resistència, la corrent no seria infinita pero si el circuit no tenen cap component disipador d'energia no alcançarà l'estat estacionario, com s'assumix en la descripció. Constituirà un Circuit LC sense taxa de amortiguación aixina que la càrrega oscilarà perpètuament cap a davant i cap a arrere entre els dos condensadores; el voltage dels dos condensadores i la corrent variarà de forma sinusoidal. Res de l'energia inicial es perdrà i, en qualsevol punt, la suma de l'energia en els dos condensadores i l'energia almagasenada en el camp magnètic al voltant dels cables serà igual a l'energia inicial.
• Si s'assumix que els cables ademés de tindre inductància i no resistència, tenen una llongitut diferent de 0, el circuit oscilatori actuarà com una antena i perdrà energia radiando ones electromagnètiques (ones de radi). L'efecte d'esta pèrdua d'energia és exactament el mateix que si hi haguera una resistència anomenada resistència de radiació en el circuit, aixina el circuit seria equivalent a un Circuit RLC. La corrent oscilante en els cables serà una sinusoide de decaiguda exponencial. Com res de la càrrega original es pert, l'estat final dels condensadores serà el descripto en el problema, en la mitat del voltage en cada condensador. Ya que en este estat els condensadores contenen la mitat de l'energia inicial, l'atra mitat serà radiada en forma d'ones electromagnètiques.
• Si s'assumix que els cables tenen una miqueta de resistència, és un circuit RC i la corrent decreixerà exponencialment a 0. De la mateixa manera que en el cas anterior i ya que no es pert càrrega, el circuit s'assentarà en l'estat final estàtic de la descripció del problema. Com l'estat dels dos condensadores junts té la mitat de l'energia inicial, l'atra mitat de l'energia serà dissipada com a calor en la resistència dels cables, qualsevol siga.
• Si ademés de la resistència i l'inductància, els cables tenen una llongitut major superior a 0 i actuen com a antena, la pèrdua d'energia serà la mateixa pero dividida entre les ones electromagnètiques radiadas i la calor dissipada per la resistència.

Hi ha vàries solucions adicionals basades en supòsits més detallats sobre les característiques dels components.

Versions alternatives

Existixen vàries versions alternatives de la paradoxa. Una és que en el circuit original, els dos condensadores estan carregats en voltages iguals i oposts $+V_i$ i $-V_i$. Una atra versió equivalent és en un sol condensador carregat i en curtcircuit en un conductor perfecte. En estos casos, en l'estat final tota la càrrega ha segut neutralisada, el voltage final dels condensadores és 0 i tota l'energia inicial es desvanix. Les solucions a "¿On es va anar l'energia?" són similars a les descriptas en la secció anterior.