Números primaris semiperfectos

Archiu:Znam-2-3-11-23-31.svg

Manifestació gràfica que 1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 + 1/(2×3×11×23×31). Per lo tant el producte, 47058, és un número primari pseudo perfecte.

En matemàtiques, i particularment en teoria de números, N és un número primari semiperfecto si satisfà l'equació de fracció egipcíaca.

$\sum _{p|N}\frac{1}{p}+\frac{1}{N}=1,$

Donde la suma és solament sobre els factors primers de N.

Propietats

Igualment, N és un número primari semiperfecto si satisfà

$\sum _{p|N}\frac{N}{p}+1=N.$

Llevat para el número primari semiperfecto N = 2, esta expresión dona ona representació per a N com la suma de distints factors de N. Per tant, cada número primari semiperfecto N (llevat N = 2) és també semiperfecto.

Els huit números primaris semiperfectos són

2, 6, 42, 1806, 47058, 2214502422, 52495396602, 8490421583559688410706771261086 (Plantilla:OEIS ).

Els primers quatre d'estos números són un menys dels números corresponents en la seqüència de Sylvester, pero a partir d'ahí les dos seqüències divergixen.

És desconegut si hi ha infinits números primaris semiperfectos, o si hi ha un número finito d'ells.

Els factors primers dels números primaris semiperfectos poden ser una solució a el Problema de Znám, en el qual tots els elements del conjunt de la solució són primers. Per eixemple, els factors primers del número primari semiperfecto 47058 formen el conjunt de solucions {2,3,11,23,31} al problema de Znám. No obstant, els números primaris semiperfectos més menuts (2, 6, 42, 1806) no corresponen a solucions de dit problema, ya que els seus conjunts violen el requeriment de que cap número en el conjunt pot ser igual a un més el producte dels atres  números. Anne (1998) va observar que hi ha exactament un conjunt solució the este tipo que té k cosins en ell, per a cada k ≤ 8, i conjeturó que lo mateixa ocorre per a k majors.

Si on número primari semiperfecto N és un menys d'un número primo, llavors N×(N+1) és també semiperfecto primari. Per eixemple, 47058 és semiperfecto primari, i 47059 és primer, aixina que 47058 &xD7; 47059 = 2214502422 és també semiperfecto primari.

Història

Els números primaris semiperfectos varen ser investigats i nomenats per primera vore per Butske, Jaje, i Mayernik (2000). Utilisant tècniques de busca computacional, probaron el resultat notable que per a cada sancer positiu r fins a 8, existix exactament un número primari semiperfecto en precisament r (distints) factors primers, a saber, l'enèsim número primari semiperfecto conegut. Aquells en 2 ≤ r ≤ 8, quan reduïts mòdul 288, formen la progressió aritmètica 6, 42, 78, 114, 150, 186, 222, com varen observar Sondow i MacMillan (2017).

Vore també

• Número de Giuga

Referències

• Anne, Premchand (1998), "fraccions egipcíaques i el problema d'herència", , , (4): 296–300, doi:10.2307/,  2687685 .

• Butske, William; Jaje, Lynda M.; Mayerik, Daniel R. (2000), "En l'equació p N 1 N = $\sum _{p|N}\frac{1}{p}+\frac{1}{N}=1$, pseudoperfect números, i perfectament weighted graphs", , : 407–420, doi:10.1090/S0025-5718-99-01088-1 .

• Sondow, Jonathan; MacMillan, Kieren (2017), "Primari pseudoperfect números, progressions d'aritmètica, i el Erdős-Moser equació", , (3): 232–240, doi:10.4169/amer.Matemàtica.Mensual.124.3.232 .