Número de Giuga

Un número de Giuga és un número compuesto n tal que cada u de les seues factors primers p_i és un divisor de $\frac{n}{p_i}-1$. Una atra comprovació és si la congruència $n{B}_{\varphi (n)}\equiv -1(\mathrm{mod}n)$ és certa, sent B un número de Bernoulli. Els números de Giuga reben el seu nom del matemàtic Giuseppe Giuga, i es relacionen en el seu conjectura sobre els número primo.

La seqüència de Giuga comença en els números 30, 858, 1722, 66198, 2214408306... (Plantilla:OEIS).

Per eixemple, 30 és un número de Giuga perque els seus factors primers són 2, 3 i 5, i es complix que:

• 30/2 - 1 = 14, que és divisible per 2,
• 30/3 - 1 = 9, que és 3 al quadrat, i
• 30/5 - 1 = 5, és dir, el propi tercer factor primer.

Els factors primers d'un número de Giuga deuen ser distints. Si $p^2$ és divisor de $n$, llavors se seguix que $\frac{n}{p}-1=n^{\prime }-1$, a on $n^{\prime }$ és divisible per $p$. Per lo tant, $n^{\prime }-1$ no seria divisible per $p$, i per lo tant $n$ no seria un número de Giuga.

Per això, només els números lliures de quadrats poden ser números de Giuga. Per eixemple, els factors primers de 60 són 2, 3 i 5, i 60/2 - 1 = 29, que no és divisible entre 2, per lo que 60 no és un número de Giuga. Tampoc els números semiprimos pot ser números de Giuga, perque si $n=p_1{p}_2$, en $p_1<p_2$ cosins, llavors $\frac{n}{p_2}-1=p_1-1<p_2$, per lo que $p_2$ no serà divisor de $\frac{n}{p_2}-1$, i per lo tant $n$ no serà un número de Giuga.

Tots els números de Giuga coneguts per ara són parells. Si existix un número de Giuga impar, té que ser el producte d'a lo manco 14 número primo. Es desconeix si hi ha infinits números de Giuga.

Paolo P. Lava (2009) ha conjeturado que els números de Giuga són la solució de l'equació n'=n+1 sent n' la derivada aritmètica de n.

És fàcil demostrar que si un número complix l'equació n'=n+1 llavors és un número de Giuga. Per un atre costat també es pot demostrar que els números de Giuga que descomponen en menys de 59 factors primers són solució de l'equació n'=n+1.

Vore també

• Número de Carmichael

Referències

• Borwein, D.; Borwein, J. M.; Borwein, P. B. i Girgensohn, R. "Giuga's Conjecture on Primality." American Mathematical Monthly 103, pp. 40-50, 1996.

Giorgio Balzarotti, Paolo P. Lava - "103 curiosità matematiche", Hoepli, Milan 2010