Número idòneu

En matemàtica, concretament en teoria de números, els números idòneus, (també cridats números adequats o números convenients), són els número entero positius D tals que qualsevol sancer expressable d'una única manera com a x² ± Dy² (a on x² és primer relatiu a Dy²) és un primer, potència de primer, o una combinació d'abdós.

Propietats

Un número positiu n és idòneu si i només si no pot ser escrit com ab + bc + ac per a distints sancers positius a, b, i c.

Euler va trobar 65 números idòneus que va agrupar en una llista, i Carl Friedrich Gauss els va classificar, conjeturando que únicament existien els números d'eixe llista, que són:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, i 1848 Plantilla:OEIS.

Weinberger va demostrar en 1973 que com a molt, existix únicament un atre número idòneu a banda dels mencionats abans, i que si la hipòtesis generalisada de Riemann es complix, llavors la llista és completa.

Bibliografia

• Z. I. Borevich and I. R. Shafarevich, Number Theory. Academic Press, NY, 1966, pp. 425–430.
• D. Cox, "Primes of Form x² + n i²", Wiley, 1989, p. 61.
• L. Euler, "An illustration of a paradox about the idoneal, or suitable, numbers", 1806
• G. Frei, Euler's convenient numbers, Math. Intell. Vol. 7 No. 3 (1985), 55–58 and 64.
• O-H. Keller, Ueber die "Numeri idonei" von Euler, Beitraege Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Math. Rev. 85m:11019]
• G. B. Mathews, Theory of Numbers, Chelsea, no dona't, p. 263.
• P. Ribenboim, "Galimatias Arithmeticae", in Mathematics Magazine 71(5) 339 1998 MAA or, 'My Numbers, My Friends', Chap.11 Springer-Verlag 2000 NY
• J. Steinig, On Euler's ideoneal numbers, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
• A. Weil, Number theory: an approach through history; from Hammurapi to Legendre, Birkhaeuser, Boston, 1984; see p. 188.
• P. Weinberger, Exponents of the class groups of complex quadratic fields, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.