Número de Harshad

En matemàtiques, un número de Harshad o número de Niven és un sancer divisible entre la suma dels seus dígits en una base donada. Estos números varen ser definits per D. R. Kaprekar, un matemàtic indi. La paraula "Harshad" prové del sánscrito, que significa gran alegria. Número de Niven pren el seu nom d'Ivan Morton Niven, un matemàtic canadenc i nortamericà, que va presentar un artícul en 1997. Tots els números entre zero i la base, són números Harshad.
Els primers cincuenta y dos números de Harshad, en dos o més dígits, en base 10 són (Plantilla:OEIS):

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201 i 204.

Notació

Siga X un sancer positiu en m dígits en base n, i els dígits a_i (i = 0, 1, ..., m − 1) (És clar que a_i deu ser zero o un sancer positiu fins a n) X pot ser expressat com:

$X=\sum _{i=0}^{m-1}{a}_i{n}^i.$

Si existix un sancer A tal que la següent expressió es complix, llavors X és un número de Harshad en base n:

$X=A\sum _{i=0}^{m-1}{a}_i.$

Un número que és de Harshad en qualsevol base de numeració es diu que és un número de Harshad total o Niven total. Només hi ha quatre números que complixen esta condició: 1, 2, 4 i 6.

¿Quins números poden ser números de Harshad?

Donat el test de divisibilidad per al 9, un podria sentir-se tentat de generalisar que tots els números divisibles entre 9 són també números de Harshad. Per al propòsit de determinar "cóm de Hardshard" és un número n, els dígits de n poden ser sumats una única volta i n deu ser divisible entre eixa suma; d'una atra forma, no és un número de Harshad. Per eixemple, el 99 encara que és divisible entre 9, resulta que 9 + 9 = 18 i 1 + 8 = 9, que no és un número de Harshad, ya que 9 + 9 = 18 i 99 no és divisible entre 18.
La base del número sempre serà un número de Harshad en la seua pròpia base, ya que serà representada com "10" i 1 + 0 = 1.
Per a que un número primo siga també un número de Harshad, deu ser més chicotet que la base (un número d'una sifra) o que el propi número de la base. D'una atra forma, els dígits de l'número primo s'afegiran a un número que és major que un pero menor que l'número primo, i òbviament, no serà divisible.
Encara que la seqüència dels factorials comença en números de Harshad en base 10, no tots són números de Harshad. 432! és el primer número que no ho és.

Referències

• H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quarterly 32 (1994), 174-175
• Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly Volume 41.5 (November 2003), 431-440
• Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275