Número de Aquiles

Demostració en regletas de Cuisenaire de que el número 72 és poderós

Un número de Aquiles és tal que és poderós pero no és una potència perfecta. Un sancer positiu n és un número poderós si, per cada factor primer p de n, p² és també un divisor de n. En atres paraules, cada factor primer apareix a lo manco al quadrat en la factorización. Tots els números de Aquiles són poderosos. No obstant, no tots els números poderosos són números de Aquiles: solament aquells que no es poden representar com m^k, a on m i k són número entero positius majors que 1.

Els números de Aquiles varen ser nomenats aixina per Henry Bottomley en honor a Aquiles, un héroe de la guerra de Troya, que també era poderós pero imperfecte. Els números de Aquiles forts són aquells que les seues indicatrices de Euler també són números de Aquiles.

Seqüència de números de Aquiles

Un número n = p₁^a₁p₂^a₂…p_k^a_k és poderós si min(a₁, a₂, …, a_k) ≥ 2. Si ademés el mcd de (a₁, a₂, …, a_k) = 1, llavors el número és un número de Aquiles.

Els números de Aquiles fins al 5000 són:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 Plantilla:OEIS.

El parell més chicotet de números de Aquiles consecutius és:

5425069447 = 7³ &claves; 41² &claves; 97²

5425069448 = 2³ &claves; 26041²

Eixemples

108 és un número poderós. El seu factorización és 2² · 3³, per lo que els seus factors primers són 2 i 3. Tant 2² = 4 com 3² = 9 són divisores de 108. No obstant, 108 no es pot representar com m^k, a on m i k són número entero positius majors que 1, després 108 és un número de Aquiles.

360 no és un número de Aquiles perque no és poderós. Un dels seus factors primers és 5 pero 360 no és divisible per 5² = 25.

Finalment, 784 no és un número de Aquiles. És un número poderós, perque no solament 2 i 7 són els seus únics factors primers, sino que també 2² = 4 i 7² = 49 són els seus divisores. No obstant, és una potència perfecta:

$784=2^4\cdot 7^2=(2^2{)}^2\cdot 7^2=(2^2\cdot 7{)}^2=28^2.$

En conseqüència, no és un número de Aquiles.

500 = 2² &claves; 5³ és un número de Aquiles fort, ya que el seu indicatriz de Euler de 200 = 2³ &claves; 5² també és un número de Aquiles.