Modulació Sigma-Delta

Plantilla:Tècniques de modulació Plantilla:Image La modulació Sigma-Delta (ΣΔ) o Delta-Sigma (ΔΣ) és un tipo de conversió analògica a digital o digital a analògica. Un circuit conversor analògic-digital (ADC) que implemente esta tècnica pot ser realisat fàcilment usant sistemes de baix cost del tipo CMOS, semblants als usats per a fabricar circuits integrats digitals. És per esta forma de construir-los, per lo que, pese a haver segut proposts per primera volta a principis dels anys '60, solament s'ha generalisat el seu us en els últims anys, gràcies a l'ocupació de tecnologies basades en el silici. La major part dels fabricants de circuits integrats analògics oferixen moduladors sigma-delta.

Derivació de la modulació Δ

La modulació ΔΣ es deriva d'un atre tipo de conversió coneguda com modulació delta. En la figura 2 es mostra de forma simplificada com es realisa esta derivació:

1. Es mostra un diagrama de blocs d'un modulador/demodulador Δ.
2. Per la propietat de linealidad de l'operador integral, és possible moure l'integrador (Σ), necessari per a reconstruir la senyal analògica, des de la zona del demodulador, i posar-ho al principi de modulador Δ.
3. De nou, per la propietat de linealidad de l'integral ($\int a+\int b=\int (a+b)$),es poden combinar els dos integradors, en lo que s'obté el diagrama de blocs d'un modulador/demodulador ΔΣ.

La forma de l'espectre és diferent en abdós tipos de modulació: La modulació ΔΣ forma el soroll deixant la senyal tal i com és, mentres que la modulació Δ forma el soroll i la senyal al mateix temps.

En general, la modulació ΔΣ té algunes ventages front a la modulació Δ:

• L'estructura completa és més simple, solament es necessita un integrador, i el demodulador pot construir-se en un senzill filtre RC en el que reconstruir la senyal.
• El valor quantificat és l'integral de la senyal diferencial, lo que ho fa menys sensible al ranc dinàmic de la senyal.

Existixen dos possibles implementacions del modulador depenent d'on es realise el procés de mostreig: els moduladors Sigma-Delta de temps discret, a on el mostreig de senyal es realisa fòra del bucle de realimentació, i els moduladors Sigma-Delta de temps continu, a on el mostreig de senyal es produïx dins del bucle de realimentació i posteriorment a l'etapa de filtrat. Estos últims posseïxen característiques que els fan més apropiats per a aplicacions d'alta velocitat.

Modulador Sigma-Delta discreta

Plantilla:Image Un modulador SD clàssic de primer orde està compost per un integrador, un muestreador, un quantificador uniforme d'un bit i un convertidor D/A en el camí de realimentació. El soroll aportat pel quantificador és considerat aditiu a l'eixida de l'integrador, tal com mostra la figura 2.2, a on ademés s'ha considerat un modulador de temps discret. És dir, el procés de mostreig de senyal ocorre fòra del bucle de realimentació.

Amprant la teoria de sistemes llineals sobre el model llineal considerat, es pot demostrar que l'eixida està composta per la suma de la senyal d'entrada filtrada i el soroll de quantificació filtrat. S'observa que el camí de filtrat del soroll de quantificació és diferent del camí de filtrat de la senyal d'entrada, ya que en aplicar la transformada Z sobre el sistema de la figura 2.2, s'obté:

$\{\begin{array}{c}\tilde{v}[n]=\tilde{u}[n-1]+(\tilde{e}[n]-\tilde{e}[n-1])\\ V(z)=z^{-1}U(z)+(1-z^{-1})E(z)\end{array}$

Com es pot observar, el soroll de quantificació queda atenuat en una determinada banda de freqüència pròxima a zero, com es mostra en la figura 2.3.

Supost que la senyal d'entrada té un espectre finit i centrat en zero, i que la freqüència de mostreig és superior a la freqüència de Nyquist de la senyal d'entrada, la senyal d'eixida tindrà una resolució dins de la banda de freqüència d'interés major que l'obtinguda si s'amprara únicament el quantificador uniforme de la figura 2.1.

El soroll de quantificació que queda fòra de la banda d'interés és filtrat digitalment en posterioritat. L'etapa de filtrat digital incorpora usualment un filtre de diezmado. A la relació entre la freqüència de mostreig amprada en la modulació i la freqüència de Nyquist se li denomina relació de sobre mostreig (OSR).

Usant el model llineal del modulador el dissenyador pot conseguir que el filtrat de senyal siga independent del filtrat del soroll de quantificació. Per a aumentar la resolució del modulador es pot incrementar l'orde de filtrat, incrementar el número de bits amprats en la quantificació, o be incrementar la OSR.

En general es poden definir dos funcions de transferència associades a un modulador SD. Una funció de transferència per al soroll de quantificació o NTF (de Noise Transfer Function) i una atra funció de transferència distinta per a la senyal d'entrada o STF (de Signal Transfer Function). La senyal d'eixida del modulador SD es pot expressar en funció d'estes dos funcions de transferència segons (2.2):

$V(z)=S\tilde{T}F(z)\cdot U(z)+N\tilde{T}F(z)\cdot E(z)$

A on:

$\{\begin{array}{c}S\tilde{T}F(z)=\frac{{\tilde{H}}_1(z)}{1+{\tilde{H}}_2(z)}\\ N\tilde{T}F(z)=\frac{1}{1+{\tilde{H}}_2(z)}\end{array}$

Figura 2.3 Soroll de quantificació en els moduladors ΣΔ de primer (1), segon (2) i tercer orde (3),

Un increment de l'orde de filtrat del modulador supon un increment de l'orde de la NTF. Quant més agressiva és la NTF més resolució pot tindre el modulador Sigma-Delta (sense entrar en consideracions sobre l'estabilitat del sistema). Normalment un modulador Sigma-Delta escomença especificant-se a través de la seua NTF.

La {resolució} del modulador Sigma-Delta es definix sobre la base de la relació màxima senyal-soroll (SNR) que pot obtindre's en la seua senyal d'eixida. En un quantificador uniforme s'estima de forma aproximada que la SNR màxima que pot obtindre's en la seua senyal d'eixida és:

$SN{R}_{uniforme}=6.02\cdot N+1.76dB$

a on $N$ és el número de bits amprats en la quantificació.

Tenint en conte l'expressió anterior es definix la resolució d'un modulador Sigma-Delta com:

$ENOB=\frac{SN{R}_{maxima}(dB)-1.76}{6.02}bits$

a on ENOB es referix al número de bits efectius del convertidor A/D obtingut.

El model llineal servix per a estimar la resolució i característiques d'un gran número de arquitectura d'una forma ràpida. No obstant, deixa de funcionar quan alguna de les condicions descrites deixa de complir-se razonadamente ben.

Dos casos en els que el model llineal no funciona, per eixemple, són els següents:

1. la generació de tons no desijats en l'espectre d'eixida
2. l'inestabilitat del modulador.