Matriu diagonal dominant

En matemàtiques, es diu que una matriu quadrada és diagonal dominant (per files) si el valor absolut de l'entrada en la diagonal principal d'una fila és major o igual a la suma dels valors absoluts de totes les demés entrades (no diagonals) d'eixa fila.

Definició

De forma anàloga es definix una matriu diagonal dominant per columnes.

En el cas de que la desigualtat siga estricta, es diu que la matriu és estrictament diagonal dominant.

Eixemples

Eixemple 1

La matriu

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ -1& 2& 4\end{array}\right)$

és diagonal dominant perque

$\{\begin{array}{ccc}|3|& \ge & |-2|+|1|\\ |-3|& \ge & |1|+|2|\\ |4|& \ge & |-1|+|2|\end{array}$

Eixemple 2

La matriu

$B=\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 1\\ 1& 3& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right)$

no és diagonal dominant perque

$\{\begin{array}{ccc}|-2|& <& |2|+|1|\\ |3|& \ge & |1|+|2|\\ |0|& <& |1|+|-2|\end{array}$

És dir, la primera i la tercera fila no complixen la condició.

Eixemple 3

La matriu

$C=\left(\begin{array}{ccc}-4& 2& 1\\ 1& 6& 2\\ 1& -2& 5\end{array}\right)$

és estrictament diagonal dominant perque

$\{\begin{array}{ccc}|-4|& >& |2|+|1|\\ |6|& >& |1|+|2|\\ |5|& >& |1|+|-2|\end{array}$

Bibliografia

• Golub, Gene H.; Van Lloen, {{{nom2}}} (1996). Matrix Computations. ISBN 0-8018-5414-8.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis, Paperback edició, Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.