Método de Lax-Friedrichs

El método de Lax-Friedrichs, cridat aixina per Peter Lax i Kurt Otto Friedrichs, és un método numèric per a la solució d'equacions hiperbòliques en derivades parcials basat en les diferències finitas. El método pot ser descrit com un esquema FTCS en un terme de viscosidad artificial d'1/2. Un pot vore el método de Lax-Friedrichs com una alternativa al esquema de Godunov, a on s'evita la solució d'un problema de Riemann en cada interfaç celular, a costa de l'adició de viscosidad artificial.

Eixemple per a un problema llineal

Considerem una equació hiperbòlica en derivades parcials llineal i unidimensional para $u (x, t)$ de la forma:

u_{t} + a u_{x} = 0

en el domini

b \leq x \leq c, 0 \leq t \leq d

en la condició inicial

u (x, 0) = u_{0} (x)

i les condicions de frontera

u (b, t) = u_{b} (t)

u (c, t) = u_{c} (t) .

Si es discretiza el domini $(b, c) \times (0, d)$ a una cuadrícula de punts igualment espayats en una separació de $Δ x$ en l'eix $x$ i $Δ t$ en l'eix $t$ , definim

u_{i}^{n} = u (x_{i}, t^{n}) with x_{i} = b + i Δ x, t^{n} = n Δ t for i = 0, \dots, N, n = 0, \dots, M,

a on

N = \frac{c - b}{Δ x}, M = \frac{d}{Δ t}

són integrals representant els números dels intervals de la cuadrícula. Llavors el método de Lax-Friedrichs per a resoldre l'equació en derivades parcials està donat per:

\frac{u_{i}^{n + 1} - \frac{1}{2} (u_{i + 1}^{n} + u_{i - 1}^{n})}{Δ t} + a \frac{u_{i + 1}^{n} - u_{i - 1}^{n}}{2 Δ x} = 0

O reescrivint-ho per a resoldre l'incògnita $u_{i}^{n + 1},$

u_{i}^{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{i + 1}^{n} + u_{i - 1}^{n}) - a \frac{Δ t}{2 Δ x} (u_{i + 1}^{n} - u_{i - 1}^{n})

A on els valors inicials i els nodos de frontera que es prenen són

u_{i}^{0} = u_{0} (x_{i})

u_{0}^{n} = u_{b} (t^{n})

u_{N}^{n} = u_{c} (t^{n}) .

Extensió a problemes no llineals

Una llei de conservació hiperbòlica no llineal es definix a través d'una funció de fluix $f$ :

u_{t} + (f (u))_{x} = 0.

En el cas de $f (u) = a u$ , nos trobem en un problema llineal escalar. Tingam en conte que, en general, $u$ és un vector en $m$ equacions. La generalisació del método de Lax-Friederichs a sistemes no llineals pren la forma

u_{i}^{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{i + 1}^{n} + u_{i - 1}^{n}) - \frac{Δ t}{2 Δ x} (f (u_{i + 1}^{n}) - f (u_{i - 1}^{n})) .

Este método és conservativo i una aproximació de primer orde, per lo tant, prou disipativo. Pot, no obstant, ser utilisat com un bloc per a la construcció d'esquemes numèrics d'orde més alt per a resoldre equacions hiperbòliques en derivades parcials, de la mateixa manera que els passos de Euler es poden utilisar com un bloc per a la creació d'integradors numèrics d'orde superior per a equacions diferencials ordinàries.

Note's que este método pot ser escrit de la forma conservativa:

u_{i}^{n + 1} = u_{i}^{n} - \frac{Δ t}{Δ x} ({\hat{f}}_{i + 1 / 2}^{n} - {\hat{f}}_{i - 1 / 2}^{n}),

a on

{\hat{f}}_{i - 1 / 2}^{n} = \frac{1}{2} (f_{i - 1} + f_{i}) - \frac{Δ x}{2 Δ t} (u_{i}^{n} - u_{i - 1}^{n}) .

Sense els térmens extra $u_{i}^{n}$ i $u_{i - 1}^{n}$ en el fluix discret, ${\hat{f}}_{i - 1 / 2}^{n}$ , un termina en l'esquema de FTCS, que és ben conegut per ser incondicionalment inestable per a problemes hiperbòlics.

Referències

(2002).«Applied Partial Differential Equations».Dover Publications.New York:.
(1995).«Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods».Springer-Verlag.Berlin, New York:22.
(1978).«Numerical Methods in Fluïu Mechanics».Academic Press.New York:18.
(2007).«Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing».Cambridge University Press.Consultat el 18 de setembre de 2015.

Este artícul conté una traducció derivada de «Método de Lax-Friedrichs» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.