Método d'Einstein-Brillouin-Keller

El método de Einstein-Brillouin-Keller (EBK) és un método semiclásico (cridat aixina per Albert Einstein, Léon Brillouin i Joseph B. Keller) que s'utilisa per a calcular valors propis en sistemes mecànics quàntics. La quantificació EBK és una millora de la quantificació de Bohr-Sommerfeld que no va considerar els bots de fase càustica en els punts d'inflexió clàssics. Este procediment és capaç de reproduir exactament l'espectre del oscilador harmònic 3D, partícula en una caixa, i inclús l'estructura fina relativista del àtom d'hidrogen.

En 1976–1977, Berry i Tabor varen derivar una extensió de la fòrmula de traces de Gutzwiller per a la densitat d'estats d'un sistema integrable a partir de la quantificació EBK.

Hi ha hagut una série de resultats recents sobre problemes computacionals relacionats en este tema, per eixemple, el treball d'Eric J. Heller i Emmanuel David Tannenbaum utilisant un enfocament de descens de gradient d'equació diferencial parcial.

Procediment

Donat un separable sistema clàssic definit per coordenades $(q_i,p_i);i\in \{1,2,\cdots ,d\}$, en el que cada parell $(q_i,p_i)$ descriu una funció tancada o una funció periòdica en $q_i$, el procediment EBK implica quantificar les integrals de trayectòria de $p_i$ sobre el tancat òrbita d'i$q_i$:

$I_i=\frac{1}{2\pi }\oint p_{i}d{q}_i=\hslash (n_i+\frac{{\mu }_i}{4}+\frac{b_i}{2})$

a on $I_i$ és la coordenada de l'àngul d'acció, $n_i$ és un número entero positiu i ${\mu }_i$ i $b_i$ són índexs de Maslov. ${\mu }_i$ correspon al número de punts d'inflexió clàssics en la trayectòria de $q_i$ (Condició de frontera de Dirichlet), i $b_i$ correspon al número de reflexions en una paret dura (Condició de frontera de Neumann).

Eixemples

Oscilador harmònic 1D

El hamiltoniano d'un oscilador harmònic simple ve dau per

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}$

a on $p$ és el moment llineal i $x$ la coordenada de posició. La variable d'acció està donada per

$I=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{x_0}{\int }}\sqrt{2mE-m^2{\omega }^2{x}^2}\mathrm{d}x$

a on hem usat això $H=E$ és l'energia i que la trayectòria tancada és 4 voltes la trayectòria des de 0 fins al punt d'inflexió $x_0=\sqrt{2E/m{\omega }^2}$.

L'integral resulta ser

$E=I\omega$,

que baix la quantificació EBK hi ha dos punts d'inflexió suaus en cada òrbita ${\mu }_x=2$ and $b_x=0$. Finalment, això dona com a resultat

$E=\hslash \omega (n+1/2)$,

que és la cuantización habitual del oscilador harmònic quàntic.

àtom d'hidrogen 2D

El hamiltoniano per a un electró no relativiste (càrrega elèctrica $e$) en un àtom d'hidrogen és:

$H=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_{\phi }^2}{2m{r}^2}-\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}r}$

a on $p_r$ és el moment canònic a la distància radial $r$, i $p_{\phi }$ és el moment canònic del àngul assimutal $\phi$. Prenga les coordenades de l'àngul d'acció:

$I_{\phi }=\text{constant}=L$

Per a la coordenada radial $r$:

$p_r=\sqrt{2mE-\frac{L^2}{r^2}-\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}r}}$

$I_r=\frac{1}{\pi }\underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}{p}_{r}dr=\frac{m{e}^2}{4\pi {ϵ}_0\sqrt{-2mE}}-|L|$

a on estem integrant entre els dos punts d'inflexió clàssics $r_1,r_2$ (${\mu }_r=2$)

$E=-\frac{m{e}^4}{32{\pi }^2{ϵ}_0^2(I_r+L{)}^2}$

Us de la quantificació EBK $b_r={\mu }_{\phi }=b_{\phi }=0,n_{\phi }=m$ :

$L=\hslash m;m=0,1,2,\cdots$

$I_r=\hslash (n_r+1/2);n_r=0,1,2,\cdots$

$E=-\frac{m{e}^4}{32{\pi }^2{ϵ}_0^2{\hslash }^2(n_r+m+1/2{)}^2}$

i fent $n=n_r+m+1$ l'espectre de l'àtom d'hidrogen 2D es recupera:

$E_n=-\frac{m{e}^4}{32{\pi }^2{ϵ}_0^2{\hslash }^2(n-1/2{)}^2};n=1,2,3,\cdots$

Tinga's en conte que per a este cas $L$ casi coincidix en la quantificació habitual del operador de moment angular en el pla $L_z$. Per al cas 3D, el método EBK per al moment angular total és equivalent a la correcció de Langer.