Logaritme integral

Logaritme integral

Integral logarítmica representada para valores x>2.

En matemàtica, el logaritme integral, funció integral de logaritme o integral logarítmica $\mathrm{li}(x)$, és una funció especial de rellevància significativa en problemes de física i teoria de números, ya que dona una estimació de la cantitat de número primer menors que un determinat valor (teorema dels número primer).

Es definix com:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln (t)}$

Representació de l'integral

L'integral logarítmica té una representació en forma d'integral definida per a tots els número real positius $x>1$ per mig de l'integral

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln (t)}.$

A on, $\ln$ denota el logaritme natural. La funció $1/\ln (t)$ té una singularitat en $t=1$, i l'integral per a $x>1$ té que ser interpretada utilisant el valor principal de Cauchy:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(x)=\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }(\underset{0}{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{dt}{\ln (t)}+\underset{1+\epsilon }{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln (t)}).$

Integral logarítmica desplaçada

L'integral logarítmica desplaçada o integral logarítmica euleriana és definida com

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\mathrm{l}\mathrm{i}(x)-\mathrm{l}\mathrm{i}(2)$

o

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\ln t}$

Com a tal, esta representació integral té la ventaja de que evita la singularitat en el domini d'integració.

Esta funció té la propietat de ser una bona aproximació del número de cosins menors que un número donat $x$, i per tant, és la base del teorema dels número primer.

Referències

• Logarithmic Integral en MathWorld.