Llímit de Lamb Dicke

En experiments en ions atrapats existix una regió quàntica anomenada el llímit de Lamb Dicke. En esta regió l'acoplament (induït per un camp electromagnètic extern) entre els estats electrònics interns (els estats del qubit) i els estats de moviment d'un ion és suficientment chicotet com per a que les transicions $|n,s⟩\leftrightarrow |n^{\prime },s^{\prime }⟩$ en un número quàntic vibracional major a un siguen fortament suprimides.

Esta condició està expressada de manera quantitativa per la següent desigualtat

${\eta }^2(2n+1)\ll 1,$

a on $\eta$ és el paràmetro de Lamb-Dicke i $n$ és el número quàntic vibracional del oscillador harmònic del ion.

Relació entre el paràmetro de Lamb-Dicke i el llímit de Lamb-Dicke

Considerem el moviment d'un ion que es mou en la mateixa direcció del potencial d'atrapament estàtic (el moviment axial apunta en la direcció de l'eix z). El potencial d'atrapament, al voltant de la posició d'equilibri del ion, pot ser aproximat per mig d'un potencial harmònic i el moviment local del ion es pot considerar equivalent al d'un oscilador harmònic quàntic (OAC) en estats propis $|n>$. En este cas l'operador de posició $\hat{z}$ està donat per

$\hat{z}=z_0(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}).$

El llímit de Lamb-Dicke correspon a la condició

$⟨{\Psi }_{motion}|{k_z}^2{z}^2|{\Psi }_{motion}{⟩}^{1/2}\ll 1$

a on $⟨{\Psi }_{motion}|$ és la part del moviment de la funció d'ona del ion i $k_z=𝐤\cdot \hat{z}=|𝐤|\cos \theta =\cos \theta (\frac{2\pi }{\lambda })$ és la proyecció del vector d'ona del camp de llum actuant sobre el ion en la direcció $z$. El paràmetro de Lamb-Dicke es definix com

$\eta =k_z{z}_0,$

a on

$z_0=(⟨0|z^2|0⟩{)}^{\frac{1}{2}}=(\hslash /2m{\omega }_z{)}^{\frac{1}{2}}$

és l'extensió de la funció d'ona de l'estat base i ${\omega }_z$ és la freqüència del potencial d'atrapament en la direcció $z$.

L'energia cinètica del ion junt en l'absorció o l'emissió d'un fotó en moment $\hslash k_z$ és proporcional a l'energia de repulsió $E_R=\hslash {\omega }_R$ a on la freqüència de repulsió està definida com

${\omega }_R=\frac{\hslash k_z^2}{2m}.$

El paràmetro de Lamb-Dicke al quadrat està donat llavors per

${\eta }^2=\frac{{\omega }_R}{{\omega }_z}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}}{\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{O}\mathrm{A}}.$

Dit d'una atra manera, el paràmetro de Lamb-Dicke $\eta$ quantifica la força d'acoplament entre els estats interns i els estats de moviment del ion. Quan el paràmetro de Lamb-Dicke és menor que un, la diferència en els nivells d'energia de l'oscilador ármonico és major que l'energia de repulsió i la provabilitat de transició és despreciable. Un paràmetro de Lamb-Dicke menor és una condició necessària, pero no suficient per a alcançar el llímit de Lamb-Dicke.

Trasfondo matemàtic

En experiments en ions atrapats, comunament s'ampren làsers (encara que també es poden utilisar radiació de microones o d'radiofrecuencia) per a acoplar els estats interns d'un ion en els seus estats de moviment. Tant la repulsió mecànica [?] d'un ion com l'absorció o emissió d'un fotó estan descrites pels operadors $\exp (\pm i{k}_{z}z)$. Estos operadors induïxen un desplaçament del moment per una cantitat $\pm \hslash k_z$ per a l'absorció (+) o emissió (-) d'un fotó provinent del fes del làser. En l'estat base de l'oscilador harmònic $\{|n⟩{\}}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$, la provabilitat de transició $|n⟩\to |n^{\prime }⟩$ està donada pels coeficients de Franck-Condon

$F_{n\to n^{\prime }}=⟨n^{\prime }|exp(i{k}_{z}z)|n⟩=⟨n^{\prime }|exp(i\eta (\hat{a}+{\hat{a}}^{†})|n⟩.$

Si la condició per a alcançar el llímit de Lamb-Dicke es complix, un pot expandir esta última expressió en una série a través del método de Taylor

$\exp (i\eta (\hat{a}+{\hat{a}}^{†}))=1+i\eta (\hat{a}+{\hat{a}}^{†})+O({\eta }^2)$

d'esta manera es pot vore que si el número quàntic vibracional $n$ és major un, les transicions entre els estats de moviment, estan fortament suprimides.

Vore també

• Laser cooling
• Resolgau sideband cooling