Holónomo (robòtica)

Un robot és holonómico si totes les restriccions a les que està somés són integrables en les restriccions posicionales de la forma:

$f(q_1,q_2,\mathrm{...},q_n;t)=0$

Les variables $q_i$ són les coordenades del sistema. Quan un sistema conté restriccions que no poden escriure's en esta forma, deu ser no holonómico.

En térmens més simples, es diu que un sistema és holonómico quan el número de graus de llibertat controlables és igual als graus totals de llibertat.

Eixemple

Considere un robot mòvil com el que es representa a la dreta, movent-se en el pla bidimensional. Imagine que tres rodes omnidireccionales estan montades en el bastidor del robot. Cada roda $W_i$ es descriu per les seues coordenades $(x_i,y_i)$, de modo que una configuració del robot pot ser donada pels sis escalares $(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3)$. Ademés, cada roda $W_i$ pot impulsar una velocitat ${𝐯}_i=(v_{x,i},v_{y,i})$ al robot. No obstant, degut a que les tres rodes estan conectades pel bastidor rígit del robot, les seues velocitats relatives són zero (a menos que el marc es trenque):

$\overrightarrow{W_1{W}_2}\cdot ({𝐯}_1-{𝐯}_2)=0$

$\overrightarrow{W_2{W}_3}\cdot ({𝐯}_2-{𝐯}_3)=0$

$\overrightarrow{W_3{W}_1}\cdot ({𝐯}_3-{𝐯}_1)=0$

Estes restriccions de velocitat s'integren en les restriccions de posició

$d(W_1,W_2)=\Vert \overrightarrow{W_1{W}_2}\Vert =D_1$

$d(W_2,W_3)=\Vert \overrightarrow{W_2{W}_3}\Vert =D_2$

$d(W_3,W_1)=\Vert \overrightarrow{W_3{W}_1}\Vert =D_3$

a on $D_1,D_2,D_3$ són constants escalares. El sistema és, per lo tant, holonómico.

Vejam finalment el grau de llibertat del robot. Inicialment utilisem sis coordenades $(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3)$ per a descriure una configuració del robot. No obstant, cada una de les restriccions de posició "consumix" un grau de llibertat. Per eixemple, $d(W_1,W_2)=D_1$ implica que $(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2=D_1$, i.i., $x_2^2-2x_1{x}_2+x_1^2+(y_2-y_1{)}^2-D_1=0$. La coordenada $x_2$ pugues llavors ser reemplaçada per la raïl apropiada d'este polinomi quadràtic. Repetint el procés tres voltes nos deixa en tres coordenades irreducibles, corresponents als tres graus de llibertat del sistema.

Observe's que les coordenades generalisades més simples per a este sistema són $(x,y,\theta )$, a on $x$ i $y$ i denoten traducció a lo llarc dels eixos plans, i $\theta$ és l'orientació del robot.

Contraeixemple

El tricicle pot semblar un sistema robòtic similar, no obstant és no-holonómico pel problema de l'estacionament paralel.