Grup de Tarski

En matemàtiques, un grup de Tarski (en notació anglesa Tarski monster group), és un grup infinit G tal que para tot subgrup propi H, i.i., $H\subset G$, en excepció del subgrup identitat, és un grup cíclico d'orde igual a un primer p. Un grup de Tarski és necessàriament grup simple. En 1979, A. Yu. Olshanskii va demostrar que el grup de Tarskii existix i que existix un p-grup de Tarskii para tot primer p > 10⁷⁵. Són una font molt important de contraeixemples per a les conjectura en teoria de grups, i de forma més important per al problema de Burnside i la conjectura de von Neumann.

Definició

Siga $p$ un número primo. Un grup infinit $G$ es diu que és un grup de Tarskii per a $p$ si tot subgrup no trivial de G (i.i., tot subgrup distint de 1 i G) té $p$ elements.

Propietats

• $G$ té un número finito de generadors. De fet és generat per qualssevol dos elements que no commuten.
• $G$ és simple. Si $N⊴G$ i $U\le G$ és qualsevol subgrup distint de $N$ el subgrup $NU$ tindrà $p^2$ elements.
• La construcció de Ol'Shanskii demostra de fet que hi ha una cantitat no numerable de grups de Tarskii per a cada primer $p>10^{75}$.

Referències

• A. Yu. Olshanskii, An infinite group with subgroups of prime orders, Math. USSR Izv. 16 (1981), 279-289; translation of Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980), 309-321.
• A. Yu. Olshanskii, Groups of bounded period with subgroups of prime order, Algebra and Logic 21 (1983), 369-418; translation of Algebra i Logika 21 (1982), 553-618.