Gruixa de la capa llímit

En esta pàgina es descriuen alguns dels paràmetros utilisats per a caracterisar la gruixa i la forma de les capes llímit formada per un decorregut que fluïx a lo llarc d'una superfície sòlida. La característica que definix el fluix en capa llímit és que, en les parets sòlides, la velocitat del decorregut es reduïx a zero. La capa llímit es referix a la fina capa de transició entre la paret i el fluix de decorregut. El concepte de capa llímit va ser desenrollat originalment per Ludwig Prandtl i es classifica a grans traces en dos tipos, delimitada i no delimitada. La propietat diferenciadora entre les capes llímit delimitades i no delimitades és si la capa llímit està sent influïda substancialment per més d'una paret. Cada u dels tipos principals té un subtipo de laminar, de transició i turbulento. Els dos tipos de capes llímit utilisen métodos similars per a descriure la gruixa i la forma de la regió de transició, en un parell d'excepcions que es detallen en la secció Capes llímit no delimitades. Les caracterisació detallades a continuació consideren el fluix estacionario, pero és fàcilment extensible al fluix no estacionario.

Descripció de la capa llímit delimitada

Capes llímit llimitades és un nom utilisat per a designar el fluix de decorregut a lo llarc d'una paret interior tal que les atres parets interiors induïxen un efecte de pressió sobre el fluix de decorregut a lo llarc de la paret considerada. La característica definitoria d'este tipo de capa llímit és que el perfil de velocitat normal a la paret a sovint assimila suaument a un valor de velocitat constant denotat com o_i(x). En la figura 1 es representa el concepte de capa llímit llimitada per a un fluix constant que penetra en la mitat inferior d'un canal bidimensional de placa plana prima d'altura H (el fluix i la placa s'estenen en la direcció positiva/negativa perpendicular al pla x-i). Eixemples d'este tipo de fluix en capa llímit es donen en el fluix de decorreguts a través de la majoria de canonades, canals i túnels de vent. El canal bidimensional representat en la figura 1 és estacionario i el decorregut fluïx a lo llarc de la paret interior en una velocitat mija en el temps o(x,i), a on x és la direcció del fluix i i és la normal a la paret. La llínea discontínua H/2 s'afig per a indicar que es tracta d'una situació de fluix en una canonada o canal interior i que hi ha una paret superior situada per damunt de la paret inferior representada. La figura 1 mostra el comportament del fluix per a valors de H superiors a la gruixa màxima de la capa llímit, pero inferiors a la gruixa a partir del com el fluix escomença a comportar-se com un fluix exterior.

Si la distància de paret a paret, H, és menor que la gruixa de la capa llímit viscosa, llavors el perfil de velocitat, definit com o(x,i) en x per a tot i, adopta un perfil parabòlic en la direcció i i la gruixa de la capa llímit és només H/2.

En les parets sòlides de la placa el decorregut té velocitat zero (condició de contorn sense esmonyida), pero a mida que nos alluntem de la paret, la velocitat del fluix aumenta sense alcançar un màxim, i després s'aproxima a una velocitat mija constant o_i(x). Esta velocitat asintòtica pugues o no canviar a lo llarc de la paret depenent de la geometria de la mateixa. El punt a on el perfil de velocitat alcança essencialment la velocitat asintòtica és la gruixa de la capa llímit. En la figura 1, la gruixa de la capa llímit es representa com la llínea curva discontínua que s'origina en l'entrada del canal. És impossible definir un punt exacte en el que el perfil de velocitat alcance la velocitat asintòtica. Com a resultat, s'utilisen una série de paràmetros de gruixa de la capa llímit, generalment denotats com $\delta (x)$, per a descriure les escales de gruixa característiques en la regió de la capa llímit. També és d'interés la forma del perfil de velocitat, que és útil per a diferenciar la velocitat laminar de fluix turbulentos de capa llímit. La forma del perfil es referix al comportament i del perfil de velocitat en la seua transició a o_i(x).

Archiu:Bounded Boundary Layer Thickness Figure 1.jpg

Figura 1: Dibuix esquemàtic que representa el fluix de decorregut que entra en la mitat inferior d'un canal bidimensional en una separació entre plaques de H. El fluix i el canal s'estenen perpendicularment al pla x-i.

El 99% de la gruixa de la capa llímit

La gruixa de la capa llímit, $\delta$, és la distància normal a la paret fins a un punt en el que la velocitat del fluix ha alcançat essencialment la velocitat "asintòtica", $u_e$. Abans del desenroll del método del moment, la falta d'un método obvi per a definir la gruixa de la capa llímit va dur a gran part de la comunitat del fluix en l'última mitat de la década de 1900 a adoptar l'ubicació $y_{99}$, denotada com ${\delta }_{99}$ i donada per

$u(x,y_{99})=0.99u_e(x),$

com la gruixa de la capa llímit.

Per a fluix laminares de capa llímit a lo llarc d'un canal de placa plana que es comporten segons les condicions de solució de Blasius, el valor de ${\delta }_{99}$ s'aproxima estretament per

${\delta }_{99}(x)\approx 5.0\sqrt{\frac{\nu x}{u_0}}=5.0\frac{x}{\sqrt{{\mathrm{R}\mathrm{e}}_x}},$

a on $u_e\approx u_0$ és constant, i a on

${\mathrm{R}\mathrm{e}}_x$ és el número de Reynolds,

$u_0$ és la velocitat del fluix lliure,

$u_e$ és la velocitat asintòtica

$x$ és la distancia aigües avall de l'inici de la capa llímit, i

$\nu$ la viscosidad cinemàtica.

Para capes llímit turbulentas a lo llarc d'un canal de placa plana, la gruixa de la capa llímit, $\delta$, ve dau per

$\delta (x)\approx 0.37\frac{x}{{{\mathrm{R}\mathrm{e}}_x}^{1/5}}$

Esta fòrmula de la gruixa de la capa llímit turbulenta supon 1) que el fluix és turbulento des del principi de la capa llímit i 2) que la capa llímit turbulenta es comporta de manera geomètricament similar (és dir, els perfils de velocitat són geomètricament similars junt en el fluix en la direcció x, diferenciant-se només per paràmetros d'escala en $y$ i $u(x,y)$). Cap d'estes suposicions és certa per al cas general de capa llímit turbulenta, per lo que cal anar en conte en aplicar esta fòrmula.

Gruixa del desplaçament

La gruixa de desplaçament, ${\delta }_1$ o ${\delta }^{*}$, és la distància normal a un pla de referència que representa la vora inferior d'un hipotètic decorregut no viscós de velocitat uniforme $u_e$ que té el mateix cabal que es produïx en el decorregut real en la capa llímit.

${\delta }_1(x)=\underset{0}{\overset{H/2}{\int }}(1-\frac{\rho (x,y)u(x,y)}{{\rho }_e{u}_e(x)})\mathrm{d}y,$

La gruixa de desplaçament modifica essencialment la forma d'un cos sumergit en un decorregut per a permetre, en principi, una solució no viscosa si les gruixa de desplaçament es conegueren a priori.

La definició de la gruixa de desplaçament per a un fluix compresible, basada en el cabal másico, és la següent

${\delta }_1(x)=\underset{0}{\overset{H/2}{\int }}(1-\frac{\rho (x,y)u(x,y)}{{\rho }_e{u}_e(x)})\mathrm{d}y,$

a on $\rho (x,y)$ és la densitat. Per a un fluix incompresible, la densitat és constant, per lo que la definició basada en el cabal volumètric es convertix en

${\delta }_1(x)=\underset{0}{\overset{H/2}{\int }}(1-\frac{u(x,y)}{u_e(x)})\mathrm{d}y.$

Per als càlculs de la capa llímit turbulenta, s'utilisen la densitat i la velocitat promediadas en el temps.

Per a fluix laminares de capa llímit a lo llarc d'una placa plana que es comporten segons les condicions de solució de Blasius, la gruixa de desplaçament és.

${\delta }_1(x)\approx 1.72\sqrt{\frac{\nu x}{u_0}},$

a on $u_e\approx u_0$ és constant.

La gruixa del desplaçament no està directament relacionat en la gruixa de la capa llímit, pero ve donat aproximadament per ${\delta }_1\approx \delta /3$. Té un paper destacat en el càlcul del Factor de Forma. També apareix en vàries fòrmules del Método del Moment.

Gruixa del momentum

La gruixa del momentum, $\theta$ o ${\delta }_2$, és la distància normal a un pla de referència que representa la vora inferior d'un hipotètic decorregut no viscós de velocitat uniforme $u_e$ que té el mateix cabal de momentum que es produïx en el decorregut real en la capa llímit.

La definició de la gruixa del momentum per a un fluix compresible basat en el cabal másico és.

${\delta }_2(x)=\underset{0}{\overset{H/2}{\int }}\frac{\rho (x,y)u(x,y)}{{\rho }_0{u}_e(x)}(1-\frac{u(x,y)}{u_e(x)})\mathrm{d}y.$

Per a un fluix incompresible, la densitat és constant, de modo que la definició basada en el cabal volumètric es convertix en

${\delta }_2(x)=\underset{0}{\overset{H/2}{\int }}\frac{u(x,y)}{u_e(x)}(1-\frac{u(x,y)}{u_e(x)})\mathrm{d}y,$

a on $\rho$ és la densitat i $u_e$ és la velocitat 'asintòtica'.

Per als càlculs de la capa llímit turbulenta, s'utilisen la densitat i la velocitat promediadas en el temps.

Per a fluix de capa llímit laminar a lo llarc d'una placa plana que es comporten segons les condicions de solució de Blasius, la gruixa del momentum és

${\delta }_2(x)\approx 0.664\sqrt{\frac{\nu x}{u_0}},$

a on $u_e\approx u_0$ és constant.

La gruixa del momentum no està directament relacionat en la gruixa de la capa llímit, pero ve donat aproximadament com ${\delta }_2\approx \delta /6$. Té un paper destacat en el càlcul del Factor de Forma.

Un paràmetro relacionat cridat Gruixa de l'energia es menciona a voltes en referència a la distribució de l'energia turbulenta, pero rara volta s'utilisa.

Factor de forma

El factor de forma s'utilisa en el fluix de capa llímit per a diferenciar el fluix laminar del turbulento. També apareix en varis tractaments aproximats de la capa llímit, inclós el método de Thwaites per a fluix laminares. La definició formal ve donada per

$H_{12}(x)=\frac{{\delta }_1(x)}{{\delta }_2(x)},$

a on $H_{12}$ és el factor de forma, ${\delta }_1$ és la gruixa de desplaçament i ${\delta }_2$ és la gruixa de momentum.

Convencionalment, $H_{12}$ = 2,59 (capa llímit de Blasius) és típic dels fluix laminares, mentres que $H_{12}$ = 1,3 - 1,4 és típic dels fluix turbulentos prop de la transició laminar-turbulenta. Per als fluix turbulentos prop de la separació, $H_{12}\approx$2.7. La llínea divisòria que definix els valors $H_{12}$ laminar-transicional i transicional-turbulento depén de varis factors, per lo que no sempre és un paràmetro definitiu per a diferenciar les capes llímit laminar, transicional o turbulenta.

Método del moment

Un método relativament nou per a descriure la gruixa i la forma de la capa llímit utilisa el metodologia del moment matemàtic que s'utilisa habitualment per a caracterisar funciones estadístiques de provabilitat. El método del moment de la capa llímit es va desenrollar a partir de l'observació de que el gràfic de la segona derivada de la capa llímit de Blasius per al fluix laminar sobre una placa s'assembla molt a una curva de distribució gaussiana. L'implicació de la forma gaussiana de la segona derivada és que la forma del perfil de velocitat per al fluix laminar s'aproxima estretament com una funció gaussiana integrada dos voltes.

El método del moment es basa en integrals simples del perfil de velocitat que utilisen tot el perfil, no només uns pocs punts de senyes de la regió de coa com fa ${\delta }_{99}$. El método del moment introduïx quatre nous paràmetros que ajuden a descriure la gruixa i la forma de la capa llímit. Estos quatre paràmetros són la localisació mija, l'esgambi de la capa llímit, l'asimetria del perfil de velocitat i l'excés del perfil de velocitat. L'asimetria i l'excés són verdaders paràmetros de forma en contraposició als simples paràmetros de relació com el ₁₂ de H. L'aplicació del método dels moments a la primera i segona derivades del perfil de velocitat genera paràmetros adicionals que, per eixemple, determinen l'ubicació, la forma i la gruixa de les forces viscoses en una capa llímit turbulenta. Una propietat única dels paràmetros del método de moments és que és possible demostrar que molts d'estos paràmetros de gruixa de velocitat són també paràmetros d'escalat de similitut. És dir, si similitut està presente en un conjunt de perfils de velocitat, llavors estos paràmetros de gruixa també deuen ser paràmetros d'escalat de llongitut de similitut..

El perfil de velocitat a l'escala adequada i les seues dos primeres derivades poden transformar-se fàcilment en núcleus integrals adequats.

Els moments centrals basats en els perfils de velocitat a escala es definixen com

${\zeta }_n(x)=\underset{0}{\overset{H/2}{\int }}(y-m(x){)}^n\frac{1}{{\delta }_1(x)}(1-\frac{u(x,y)}{u_e(x)})\mathrm{d}y,$

Bibliografia

• Prandtl, Ludwig (1904), “Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung,” Verhandlungen dones Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg 1904, A. Krazer, ed., Teubner, Leipzig, 484–491(1905).
• Schlichting, Hermann (1979), Boundary-Layer Theory, 7th ed., McGraw Hill, New York, U.S.A.
• Swanson, R. Charles and Langer, Stefan (2016), “Comparison of NACA 0012 Laminar Flow Solutions: Structured and Unstructured Grid Methods,” NASA/TM-2016-219003.
• Wang, Xia, George, William, and Castell, Luciano (2004), "Separation Criterion for Turbulent Boundary Layers Via Similarity Analysis," J. of Fluids Eng., vol. 126, pp. 297-304.
• Weyburne, David (2006). "A mathematical description of the fluïu boundary layer," Applied Mathematics and Computation, vol. 175, pp.  1675–1684
• Weyburne, David (2014). "New thickness and shape parameters for the boundary layer velocity profile," Experimental Thermal and Fluïu Science, vol. 54, pp. 22–28
• Weyburne, David (2017), "Inner/Outer Ràtio Similarity Scaling for 2-D Wall-bounded Turbulent Flows," arXiv:1705.02875 [physics.flu-dyn].
• Weyburne, David (2020a). "A Boundary Layer Model for Unbounded Flow Along a Wall," Air Force Tech Report: AFRL-RY-WP-TR-2020-0004,DTIC Accession # AD1091170.
• Weyburne, David (2020b). "The Unbounded and Bounded Boundary Layer Models for Flow Along a Wall," Air Force Tech Report: AFRL-RY-WP-TR-2020-0005, DTIC Accession # AD1094086.
• Weyburne, David (2020c). "A New Conceptual Model for Laminar Boundary Layer Flow," Air Force Tech Report: AFRL-RY-WP-TR-2020-0006, DTIC Accession # AD1091187.
• Whitfield, David (1978). "Integral Solution of Compressible Turbulent Boundary Layers Using Improved Velocity Profiles," AEDO-TR-78-42.

Bibliografia adicional

• Rosenhead, Louis, ed. Laminar boundary layers. Clarendon Press, 1963.
• Lagerstrom, Paco Axel. Laminar flow theory. Princeton University Press, 1996.
• Schlichting, Hermann, Boundary-Layer Theory, 7th ed., New York: McGraw-hill, 1979.
• Frank M. White, Fluïu Mechanics, McGraw-Hill, 5th Edition, 2003.