Funció indicatriz de Jordan

En teoria de números, la funció indicatriz de Jordan $J_k(n)$ d'un sancer positiu n és el número de k-tuplas de sancers positius tots menors o iguals a n que formen una (k + 1)-tupla coprima junt en n. Esta és una generalisació de la funció φ de Euler, que és J₁. La funció es diuen en honor de Camille Jordan.

Definició

La funció indicatriz de Jordan és una funció multiplicativa i pot ser evaluada com

$J_k(n)=n^k\prod _{p|n}(1-\frac{1}{p^k}).$

Propietats

• $\sum _{d|n}{J}_k(d)=n^k.$

La qual pot ser escrita en el llenguage de convoluciones de Dirichlet com

$J_k(n)\star 1=n^k$

i utilisant inversió de Möbius com

$J_k(n)=\mu (n)\star n^k$.

ya que la funció generadora de Dirichlet de μ és 1/ζ(s) i la funció generadora de n^k és ζ(s-k), les séries per a J_k es convertixen en

$\sum _{n\ge 1}\frac{J_k(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s-k)}{\zeta (s)}$.

• The orde mig de J_k(n) és c n^k per a algun c.

• La funció psi de Dedekind és

$\psi (n)=\frac{J_2(n)}{J_1(n)}$,

i per mig d'inspecció de la definició (reconeixent que cada factor en el producte sobre els número primo és un polinomi ciclotòmic de p^-k), les funcions aritmètiques definides per mig de $\frac{J_k(n)}{J_1(n)}$ o $\frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)}$ poden mostrar-se que són funcions multiplicativas evaluades en els número entero.

• $\sum _{\delta \mid n}{\delta }^s{J}_r(\delta )J_s\left(\frac{n}{\delta }\right)=J_{r+s}(n)$      

Referències

• L. E. Dickson (1919, repr.1971). History of the Theory of Numbers, Vol. I, Chelsea, p. 147. ISBN 0-8284-0086-5.
• M. Ram Murty (2001). Problems in Analytic Number Theory, Springer-Verlag, p. 11. ISBN 0-387-95143-1.