Anar al contingut

Forma quadràtica ternaria de Ramanujan

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià

En matemàtiques, en el camp de la teoria de números, una forma quadràtica ternaria de Ramanujan és l'expressió algebraica x2 + i2 + 10z2 en valors sancers per a “x”, “i” i “z”.[1][2] Srinivasa Ramanujan va considerar esta expressió en una nota al peu de pàgina en un artícul[3] publicat en 1916 i va discutir breument la representabilidad dels sancers en esta forma. Despuix de donar condicions necessàries i suficients de que un número entero no es pot representar en la forma ax2 + by2 + cz2 per a certs valors específics de a, b i c, va observar en una nota al peu que: "(estos) resultats nos pot tentar a supondre que existixen resultats simples similars per a la forma ax2 + by2 + cz2 qualssevol que siguen els valors de a, b i c. Sembla, no obstant, que en la majoria dels casos no existixen resultats tan simples". Per a corroborar esta observació, Ramanujan va discutir la forma que ara es coneix com la forma quadràtica ternaria de Ramanujan.

Propietats descobertes per Ramanujan

En el seu artícul de 1916[3] Ramanujan va fer les següents observacions sobre la forma x2 + i2 + 10z2:

  • Els número par que no tenen la forma x2 + i2 + 10z2 són del tipo 4λ (16μ + 6)
  • Els número impar que no tenen la forma x2 + i2 + 10z2, a saber. 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, ... no semblen obedir cap llei simple.

Número impar més allà de 391

En colocar punts suspensivos al final de la llista de número impar no representables com a x2 +  i2 + 10 z2, Ramanujan va indicar que la seua llista estava incompleta. No estava clar si pretenia que fora una llista finita o una llista infinita. Açò va dur a atres matemàtics a buscar número impar. En 1927, Burton W. Jones i Gordon Pall[2] varen descobrir que el número 679 no podia expressar-se en la forma x2 + i2 + 10z2 i també varen verificar que no hi havia atres números per baix de 2000. Açò va dur a una conjectura primerenca de que els dèsset números, (els setze números en la llista de Ramanujan i el número descobert per ells), eren els únics número impar que no es poden representar com x2 + i2 + 10z2. No obstant, en 1941, H Gupta[4] va demostrar que el número 2719 no podia representar-se com x2 + i2 + 10z2. També va verificar que no hi havia atres números per baix de 20000. El progrés en esta direcció es va produir solament despuix del desenroll de les computadores modernes. W. Galway va escriure un programa de computadora per a determinar sancers impar no expressables com x2 + i2 + 10z2, i va verificar que solament hi ha díhuit números menors que 2 × 1010 no representables en la forma x2 + i2 + 10z2.[1] Basat en els càlculs de Galway, Ken Ono i K. Soundararajan varen formular la següent conjectura:

Els sancers positius impar que no tenen la forma x 2 + i2 + 10z2 són: 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719 .

Referències

  1. ↑ 1,0 1,1 (1997).«Ramanujan's ternary quadratic form».Inventiones Mathematicae.130(3)
    415–454.doi:10.1007/s002220050191.Consultat el 7 de juliol de 2020.
  2. ↑ 2,0 2,1 (1939).«Regular and semi-regular positive ternary quadratic forms».Acta Mathematica.70(1)
    165–191.doi:10.1007/bf02547347.
  3. ↑ 3,0 3,1 (1916).«On the expression of a number in the form ax2 + by2 + cz2 + du2».Proc. Camb. Phil. Soc..19
    11–21.
  4. ↑ (1941).«Some idiosyncratic numbers of Ramanujan».Proceedings of the Indian Academy of Sciences, Section A.13(6)
    519–520.doi:10.1007/BF03049015.


Referències


Obtingut de «https://lenciclopedia.org/w/index.php?title=Forma_quadràtica_ternaria_de_Ramanujan&oldid=1099895»