Filtre comb

Diagrama i anàlisis espectral d'un filtre comb (IIR+FIR) aplicat a soroll blanc.

En el processament de senyals, un filtre comb (o pentine) es produïx en sumar-li a la senyal original una versió retardada en el temps de sí mateixa, causant aixina interferència constructiva i destructiva. La resposta en freqüència d'un filtre comb consistix en una série de picos regularment espayats, la figura dels quals s'assembla a la d'un pentine (comb, en anglés).

Els filtres comb es poden identificar d'acort al tipo de senyal sumada a la entrante. Si només depén dels valors previs en la entrada es denomina feedforward o filtre FIR (de Finite Impulse Response: Resposta Finita a l'Impuls), i si depén només dels valors previs de la eixida es diu feedback o filtre IIR (de Infinite Impulse Response: Resposta Infinita a l'Impuls). Es poden implementar en un domini temporal discret o continu; este artícul es basarà en implementacions en temps discret; les propietats dels filtres en el domini temporal continu són molt similars.

Filtres FIR o Feedforward

Estructura d'un filtre comb FIR o Feedforward.

Resposta en magnitut d'un filtre comb Feedforward per a distints valors positius de $\alpha$.

Resposta en magnitut d'un filtre Feedforward per a distints valors negatius de $\alpha$.

Filtre comb en Wikimedia Commons.

L'estructura general d'un filtre comb feedforward és mostrada ala dreta, i és descrita per la següent equació recurrent:

$y[n]=x[n]+\alpha x[n-K]$

a on $K$ és el tamany del retart (medit en mostres), i $\alpha$ és un factor de escalamiento aplicat a la senyal retardada. Si prenem la transformada Z en abdós costats de l'equació, obtenim:

$Y(z)=(1+\alpha z^{-K})X(z)$

Podem llavors definir la funció de transferència de la següent manera:

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=1+\alpha z^{-K}=\frac{z^K+\alpha }{z^K}$

Resposta en freqüència

Per a obtindre la resposta en freqüència d'un sistema temporalment discret expressat en el domini complex Z, fem la substitució $z=e^{j\omega }$. Per al nostre filtre comb FIR tenim:

$H(e^{j\omega })=1+\alpha e^{-j\omega K}$

Un dels paràmetros d'interés és la seua resposta en magnitut, ignorant la fase. Esta queda definida com:

$|H(e^{j\omega })|=\sqrt{\mathrm{\Re }\{H(e^{j\omega }){\}}^2+\mathrm{\Im }\{H(e^{j\omega }){\}}^2}$

En el cas d'un filtre FIR és:

$|H(e^{j\omega })|=\sqrt{(1+{\alpha }^2)+2\alpha \cos (\omega K)}$

Note's que el terme $(1+{\alpha }^2)$ és constant, en lo que el terme $2\alpha \cos (\omega K)$ varia periòdicament. Per lo tant la resposta en magnitut d'un filtre FIR és periòdica.

Els gràfics a la dreta mostren la resposta en magnitut per a varis valors de $\alpha$, demostrant esta periodicitat. Algunes propietats importants:

• La resposta periòdicament decau fins a un mínim local (conegut a voltes com notch), i despuix creix fins a un màxim local (també conegut com peak).

• Els nivells màxims i mínims estan sempre equidistants d'1.

• Quan $\alpha =\pm 1$, el mínim té amplitut 0. En este cas el mínim és conegut com zero.

• El màxim dels valors positius de $\alpha$ coincidix en el mínim dels valors negatius de $\alpha$, i viceversa.

Interpretació de pols i zeros

Mirant novament a la funció de transferència en el domini complex Z d'un filtre comb FIR:

$H(z)=\frac{z^K+\alpha }{z^K}$

veem que el numerador és igual zero quan $z^K=-\alpha$. Té per tant $K$ solucions, que graficadas es troben igualment espayades al voltant d'un círcul en el pla complex; eixos són els zeros de la funció de transferència. El denominador és zero quan $z^K=0$, donant $K$ pols en $z=0$. El gràfic corresponent es veu avall.

Gràfic de pols i zeros d'un filtre comb FIR en $K=8$ i $\alpha =0.5$.

Gràfic de pols i zeros d'un filtre comb FIR en $K=8$ i $\alpha =-0.5$.

Filtres IIR o Feedback

Estructura d'un filtre comb IIR o feedback.

Erro al crear miniatura:

Resposta en magnitut d'un filtre comb feedback per a distints valors positius de $\alpha$.

Erro al crear miniatura:

Resposta en magnitut d'un filtre comb feedback per a distints valors negatius de $\alpha$.

En forma similar, l'estructura general d'un filtre comb IIR és mostrada a la dreta, i és descripta per la següent equació recurrent:

$y[n]=x[n]+\alpha y[n-K]$

Si reacomodamos l'equació per a que tots els térmens en $y$ estiguen del costat esquerre i prenem la transformada Z, tenim:

$(1-\alpha z^{-K})Y(z)=X(z)$

La funció de transferència és, per lo tant:

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{1-\alpha z^{-K}}=\frac{z^K}{z^K-\alpha }$

Resposta en freqüència

Si fem la substitució $z=e^{j\omega }$ en el domini complex Z, obtenim la següent expressió per als filtres comb IIR:

$H(e^{j\omega })=\frac{1}{1-\alpha e^{-j\omega K}}$

La resposta en magnitut es calcula llavors:

$|H(e^{j\omega })|=\frac{1}{\sqrt{(1+{\alpha }^2)-2\alpha \cos (\omega K)}}$

Novament, la resposta és periòdica, com demostra el gràfic a la dreta. El filtre comb IIR té algunes propietats en comuna en els FIR:

• La resposta periòdicament decau fins a un mínim local i creix fins a un màxim local.

• El màxim dels valors positius de $\alpha$ coincidix en el mínim dels valors negatius de $\alpha$, i viceversa.

De qualsevol manera existixen diferències importants, degut a que la resposta en magnitut depén d'un terme ubicat en el denominador:

• Els nivells dels màxims i mínims no són equidistants d'1.

• El filtre és estable només si $|\alpha |$ és menor que 1. Com podem vore en els gràfics, quan $|\alpha |$ creix, les amplitut dels picos màxims pugen ràpidament.

Interpretació de pols i zeros

Mirant novament la funció de transferència en el domini Z d'un filtre comb IIR:

$H(z)=\frac{z^K}{z^K-\alpha }$

Esta volta, el numerador és zero sempre que $z^K=0$, donant $K$ zeros quan $z=0$. El denominador és igual a zero quan $z^K=\alpha$. Açò té $K$ solucions possibles, igualment espayades al voltant d'un círcul ubicat en el pla complex; eixos són els pols de la funció de transferència. Açò produïx un gràfic com el que es mostra a continuació.

Erro al crear miniatura: Gràfic de pols i zeros d'un filtre comb IIR en $K=8$ i $\alpha =0.5$.

Erro al crear miniatura: Gràfic de pols i zeros d'un filtre comb IIR en $K=8$ i $\alpha =-0.5$.