Espai maximalment simètric

Un espai maximalmente simètric (EMS) és un espai mètric en el que pot definir-se el concepte de dimensió i a on el grup de simetria té la dimensió màxima possible. Si es considera un espai mètric real de dimensió d la dimensió màxima possible del grup d'isometría, que és un grup de Lie, resulta ser d(d+1)/2.

Espai euclídeo

En l'espai euclídeo el grup de translacions té dimensió d i el de rotacions té dimensió:

La combinació de translacions, rotacions i simetria especulares i d'inversió vàries dona el grup d'isometría de l'espai que per tant té dimensió:

El grup d'isometría de l'espai euclídeo admet el següent isomorfisme:

a on $\text{O}(d)$ és el grup ortogonal d-dimensional.

Varietats riemannianas

Una superfície esfèrica S² constituïx un cas d'espai bidimensional maximalmente simètric.

Els espais de curvatura constant el tensor de curvatura de Riemann ve dau en components per la següent expressió:

a on $g_{ij}$ és el tensor mètric expressat en coordenades curvilíneas qualssevol. En tensor de Ricci $R_{ij}$ i la curvatura escalar $S$són proporcionals respectivament al tensor mètric i a la curvatura:

i a on $n$ és la dimensió de l'espai.

La geometria hiperbòlica i la geometria elíptica (ademés de la geometria euclídea) són casos particulars de geometria riemannianas uniformes que són maximalmente simètriques. Per a les geometria hiperbòlica i elíptica existix un paràmetro cridat "ràdio" R relacionat en el valor no nul de C per mig de la relació:

triant el sistema d'unitats adequadament pot obtindre's |R| = 1 i per tant |C| = 1. En el cas de la geometria elíptica R coincidix en el radi de la n-esfera que s'use com a model de geometria elíptica.

Els grups d'isometría dels espais maximalmente simètrics de curvatura positiva i negativa són:

A on:

${𝕊}^d,{ℍ}^d$, són repsectivamente el EMS de curvatura positiva i el EMS de curvatura negativa.

$\text{O}(d+1)$, és el grup ortogonal d+1-dimensional.

${\text{O}}_{+}(d,1)$, és el subgrup ortocrono del grup de Lorentz d+1-dimensional.

Referències

• John M. Llig (1997). Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98271-X.