Esfera de Berger

En geometria riemanniana, una esfera de Berger, cridada aixina per Marcel Berger, és una 3-esfera estàndar en una mètrica riemanniana procedent d'una família uniparamétrica, que pot obtindre's a partir de la mètrica estàndar reduint-la a lo llarc de les fibres d'una fibración de Hopf. És interessant per ser un dels eixemples més senzills de colapse de Gromov.

De forma més precisa, es considera en primer lloc l'àlgebra de Lie en generadors $x_1,x_2,x_3$ i en el corchete de Lie $[x_i,x_j]=-2{ϵ}_{ijk}{x}_k$. Açò es correspon en el grup de Lie simplement conexo ${𝕊}^3$. Prenent ara el producte ${𝕊}^3\times ℝ$, estenent el corchete de Lie de manera que el generador $x_4$ siga invariante a esquerra per l'operació del grup de Lie i prenent el cocient per $\alpha x_1+\beta x_4$, a on ${\alpha }^2+{\beta }^2=1$, obtenim finalment les esferes de Berger $B(\beta )$.

Existixen també anàlecs en dimensió superior del concepte d'esfera de Berger.